¿Por qué es $a^{x+y}=a^xa^y$

Question

Después de leer el capítulo 1 de los Principios del análisis matemático de Rudin, empecé a trabajar en los ejercicios. El ejercicio 6 fue una gran sorpresa, ya que los ejercicios del 1 al 5 habían sido todos muy sencillos, mientras que el 6 me tuvo perplejo durante mucho tiempo hasta que leí las soluciones en Internet. El problema es el siguiente:
Para los números enteros $m,n,p,q$ dejar $r=m/n=p/q$ demostrar que, para un valor positivo de $b$ $$(b^m)^{1/n}=(b^p)^{1/q}$$ Entonces demuestre que para los racionales $r,s$ $$b^{r+s}=b^rb^s$$ Si $$b^x=\sup \{ b^t : t\le x,t\in \mathbb{Q}\}$$ Demuestre que para los reales $x,y$ $$b^{x+y}=b^xb^y$$ Después de leer las soluciones creo que podría haber resuelto la primera y la segunda parte de la pregunta, pero para la última parte, la solución hacía uso de varias proposiciones, corolarios y tenía que demostrar un lema antes de comenzar la demostración.
Esto me hizo sospechar un poco, ya que el ejercicio 7 pedía la prueba de varios de estos hechos. Así que me preguntaba si hay pruebas alternativas, y si las hay, ¿cuál es la más sencilla que conoces?

Este es el enlace a las soluciones de las que hablo

Answer 1

Aunque ocupa mucho espacio, el argumento no es especialmente complejo, ni siquiera largo. Creo que está presentado de forma engañosa. El lema evocado es extremadamente sencillo y admite una demostración mucho más simple:

$$r < \frac{r+(x+y)}{2} = \frac{2x+r}{4}+\frac{2y+r}{4} < x + y$$

Ahora para terminar el problema sólo hay que aplicar esto de forma iterativa para obtener una secuencia monótona de racionales que se acerque a $x+y$ de abajo, y tomar un sup, como la función $f(x)=k^x$ es monótona y preserva el orden.