Problema de álgebra relativo a un sistema de ecuaciones logarítmicas.

Question

Las ecuaciones son:

$\log_{4}(x)+\log_{4}(y)=5$

$\big(\log_{4}(x)\big)\big(\log_{4}(y)\big)=6$

Intenté resolver este problema resolviendo el par de ecuaciones para $x$ .

Para la primera ecuación:

$\Longrightarrow \log_{4}(xy)=5 \Longrightarrow xy=4^{5} \Longrightarrow xy=1024 \Rightarrow x=\dfrac{1024}{y}$

Para la segunda ecuación:

$\Longrightarrow \log{4}(x)=\dfrac{6}{\log_{4}(y)} \Longrightarrow x=4^{\frac{6}{\log_{4}(y)}}$

Entonces,

$\Longrightarrow \dfrac{1024}{y}=4^{\frac{6}{\log_{4}(y)}}$

¿Cómo debo seguir adelante?

Answer 1

Sea $u=\log_4(x)$ , $v=\log_4(y)$ . Las ecuaciones pueden escribirse en $u$ y $v$ $$u+v=5,\ \ uv=6$$ Las soluciones son $u=2$ , $v=3$ o $u=3$ , $v=2$ . Entonces se resuelve para $x$ y $y$

EDITAR Como ha señalado Bernard, $u$ y $v$ anteriores se encuentran generalmente como las soluciones de la ecuación cuadrática $t^2-5t+6=0$ . Pero en este caso especial lo he resuelto por inspección.

Además, para completar, $\log_4(x)=2$ implica $x=4^2=16$ y $\log_4(y)=3$ implica $y=4^3=64$ . Así pues, las soluciones son $x=16, y=64$ y $x=64, y=16$

Answer 2

Tenemos:

$\log_{4}(x)+\log_{4}(y)=5$

$\Rightarrow \log_{4}(x)=5-\log_{4}(y) \hspace{5 mm}$ (i)

$\big(\log_{4}(x)\big)\big(\log_{4}(y)\big)=6 \hspace{4.25 mm}$ (ii)

Sustituyendo (i) en (ii):

$\Rightarrow \big(5-\log_{4}(y)\big)\big(\log_{4}(y)\big)=6$

$\Rightarrow 5\log_{4}(y)-\big(\log_{4}(y)\big)^{2}=6$

$\Rightarrow \big(\log_{4}(y)\big)^{2}-5\log_{4}(y)+6=0$

$\Rightarrow \log_{4}(y)=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4(1)(6)}}{2(1)}$

$\Rightarrow \log_{4}(y)=\dfrac{5\pm{1}}{2}$

$\Rightarrow \log_{4}(y)=2,3$

$\Rightarrow y=16,64$

Utilizando (i):

$\Rightarrow \log_{4}(x)=5-\log_{4}(16)$

$\hspace{19.5 mm}=5-2$

$\hspace{19.5 mm}=3$

$\Rightarrow x=64$

o

$\Rightarrow \log_{4}(x)=5-\log_{4}(64)$

$\hspace{19.5 mm}=5-3$

$\hspace{19.5 mm}=2$

$\Rightarrow x=16$

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es $x=16$ y $y=64$ o $x=64$ y $y=16$ .