Tres números son elegidos al azar entre 0 y 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre el número mayor y el menor número es menos de 1/4?
Este es un problema de JHMT Cálculo de 2011. Estoy tratando de ver si hay alguna solución mejor que la ofrecida.
Aquí está la solución:
Básicamente a lo largo de las mismas líneas que proporcionan respuesta.
En primer lugar observamos que la respuesta no va a cambiar si asumimos $X_1,X_2,X_3$ son IID $\mbox{U}[0,1]$, y estamos preguntando ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia entre el máximo y el mínimo es en la mayoría de las $\frac 18$.
De manera más general, supongamos que $X_1,\dots,X_n$ son IID $\mbox{U}[0,1]$, y nos piden la probabilidad de que la diferencia entre el máximo y el mínimo es en la mayoría de las $\alpha$. La respuesta entonces es
$$ n \times \int_0^1 P( \bigcap_{j=2}^n \{t<X_j < t+\alpha\}|X_1=t) dt = n \times \int_0^1 \min (\alpha,1-t)^{n-1} dt.$$
La expresión de la derecha es
$$ n \times \left ( \alpha^{n-1}\times (1-\alpha) + \int_0^\alpha u^{n-1} du\right)=n \alpha^{n-1} (1-\alpha) + \alpha^n = n \alpha^{n-1} -(n-1) \alpha^n. $$
En el caso de $n=3$$\alpha=\frac 18$, esta fórmula da $\frac{11}{256}$.
Dado: los padres de variable aleatoria $X \sim \text{Uniform}(0,2)$ con pdf $f(x)$:
Estadísticas De Orden De
Un marco más general para resolver este tipo de problemas es el uso de estadísticas de orden. En particular, dada una muestra aleatoria de tamaño $n$ dibujado en parent $X$, la articulación pdf de la muestra mínimo ($1^{\text{st}}$ fin de estadística) y de la muestra máxima ($n^{\text{th}}$ fin de estadística), decir $g(x_1, x_n)$ es:
donde yo estoy usando el OrderStat función de la mathStatica paquete de Mathematica para automatizar la mecánica. Nos podría fácilmente encontrar la articulación pdf de la $2^{\text{nd}}$ $n^{\text{th}}$ estadísticas de orden de la misma manera, o de cualquier combinación de 3 o más de estos ordenó variables.
En este caso, buscamos $P(X_n - X_1 < \frac14)$:
Cuando el tamaño de la muestra $n = 3$, esto es igual a $\frac{11}{256}$.
Notas
Prob utiliza la función anterior también es de mathStatica. Como la divulgación, debo añadir que yo soy uno de los autores. I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
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