¿Es adecuada esta concepción del infinito contable frente al incontable?

Question

No soy matemático, así que, por favor, señale cualquier error que esté cometiendo aquí - estoy tratando de entender el concepto de infinito contable vs. incontable de una manera algo informal y me gustaría saber si esa concepción tiene sentido.

Podemos imaginar el conjunto de los números naturales como un eje que va desde algún punto fijo ( $0$ o $1$ si quieres) hasta el infinito:

Está claro que los puntos de este eje son contables, porque sabemos exactamente cómo sigue el eje y, por tanto, podemos hacer un cálculo preciso sobre cuántos puntos contendrá el resto del eje.

Para los números enteros, ya no tenemos un punto de partida fijo, sino que el eje crece infinitamente en dos direcciones:

Sin embargo, seguimos teniendo un solo eje de puntos fijos y podemos hacer un cálculo preciso de cuántos puntos contendrá el eje en su conjunto.
Lo primero que me molesta: Dado que el eje es calculable exactamente el doble de largo, debería ser un "infinito mayor" que el de los números naturales, ¿no? Pero aun así, diríamos que $\mathbb{Z}$ tiene la misma cardinalidad que $\mathbb{N}$ ?

Para los números racionales, las cosas se ponen un poco más difíciles, pero aún podemos manejarlo: Cualquier número racional puede mostrarse como la fracción entre dos enteros - si lo he entendido bien, ¿esto es lo que hace la función de emparejamiento de Cantor? - por lo que podemos añadir un segundo eje para tener en cuenta las posibilidades combinatorias dando lugar a $\mathbb{Q}$ :

La cantidad de puntos ahora no se suma simplemente, es decir, el eje no se alarga sin más (como en el paso de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ ), pero se multiplica, es decir, ahora hay más ejes, por lo que es incluso un "aumento mayor del infinito". ¿Es esto correcto?
Pero seguimos teniendo un número finito de ejes con un número contable de puntos, por lo que la cantidad total de puntos también es contable.

Ahora, para el caso de los números reales, las cosas son un poco diferentes.
Evidentemente, un sistema unidimensional no es suficiente porque necesitamos tener en cuenta los dígitos detrás de la coma, por lo que necesitamos al menos dos ejes, para crear $0.0, 0.1, 0.2, ..., 1.0, 1.1, ...$ :
Ahora eso tampoco es suficiente, porque desde $1.1$ podemos decidir si nos quedamos en $1.1$ , que sería $1.10$ ( ¿Es cierto que $1.1$ es de hecho $1.10$ que de hecho es $1.1000000...$ de modo que los números racionales nunca son realmente finitos, o esta idea es falsa y $1.1$ es realmente $1.1$ ? ) o ir más allá a $1.11$ Así que necesitamos otro eje:

Ahora somos tridimensionales y, por lo tanto, podemos dar cuenta de todos los números con dos dígitos detrás de la coma, pero eso todavía no es suficiente, porque entre $1.10$ y $1.11$ también tenemos los números $1.101, 1.102, 1.103, ... $ Y a partir de cualquier punto en el que nos encontremos, estamos profundizando recursivamente una dimensión, porque para cualquier dígito que añadamos, volvemos a tener todas las posibilidades de seguir desde ese punto, por lo que nunca llegamos a un punto en el que podamos dejar de añadir ejes:

(A estas alturas se me está acabando la imaginación sobre cómo dibujar un diagrama 7D, lo siento)

Ahora estamos en el punto en el que nos encontramos con un número infinito de ejes - y esto corresponde al conjunto de números reales $\mathbb{R}$ dejando de ser contablemente infinito.

Mi pregunta es:
¿Es adecuado decir que infinito contablemente corresponde a de dimensiones finitas , mientras que incontablemente infinito corresponde a infinitas dimensiones ¿o me he equivocado en mi concepción?

Answer 1

La noción de "contablemente infinito" está bien nombrada. Otra palabra que se puede utilizar es "enumerable", que es aún más descriptiva en mi opinión.

Entiendo tu intuición sobre el tema y veo de dónde vienes. Permíteme intentar darte una idea de los acuerdos sobre el infinito a los que han llegado a lo largo de los años los matemáticos que han trabajado en este problema. (Esto es lo que me gustaría que alguien le hubiera explicado a a mí. )

"Contablemente infinito" sólo significa que se puede definir un secuencia (an pedir ) en la que se pueden enumerar los elementos. (De tal manera que cada elemento aparece exactamente una vez).

Los números naturales son los más naturalmente "contables" -incluso se les llama "números para contar"- porque son la secuencia natural más básica. La propia palabra "secuencia" está envuelta en lo que entendemos por números naturales, que no es más que una cosa que sigue a otra, y la siguiente que viene después, y la siguiente después, y así sucesivamente en secuencia.

Pero los enteros también son contables. En otras palabras, son enumerable. Puede especificar un orden que enumere cada número entero exactamente una vez y no omita ninguno de ellos. (En realidad no importa, para el significado de "contable", si un elemento en particular se lista más de una vez, porque siempre se puede omitir cada vez que aparece después de la primera vez).

Este es un ejemplo de cómo se puede enumerar (contar, enumerar) cada uno de los enteros sin perder ninguno:

$0, 1, -1, 2, -2, 3, -3...$

Los números racionales son también contable, de nuevo porque puede definir una secuencia que enumera cada número racional. El hecho de que sean listado significa (al mismo tiempo) que figuran en un secuencia, lo que significa que puede asignar un número de conteo a cada uno.

Los números reales son no contable. Esto se debe a que es imposible definir una lista o método o secuencia que enumere todos los números reales. No sólo es difícil, sino que es imposible. Véase "El argumento diagonal de Cantor".

Esperamos que esto te proporcione un punto de partida sólido para entender cualquier otra cosa sobre los conjuntos infinitos que te interese examinar. :)

Answer 2

Tienes algo de razón, en el sentido de que es cierto que $\mathbb N^n$ es contable para los positivos $n$ y $\mathbb N^\mathbb N$ es incontable (que es el conjunto de funciones de $\mathbb N$ a $\mathbb N$ ). Incluso $\{1,2\ldots n\}^\mathbb N$ es incontable para $n>1$ (piense en escribir los números en el intervalo $(0,1]$ en una base arbitraria).

Así que una forma fiable de demostrar que un conjunto $A$ es contable es construir una función inyectiva $f:A\rightarrow \mathbb N^n$ y una forma fiable de demostrar que un conjunto $B$ es incontable, es construir una función inyectiva $g:\{1,2\ldots n\}^\mathbb N\rightarrow B$

Answer 3

Estás utilizando imágenes no estándar pero, tal y como lo leo, el punto en el que falla la "intuición" que describes es este:

Ahora estamos en el punto en el que nos encontramos con un número infinito de ejes - y esto corresponde al conjunto de números reales $\mathbb{R}$ dejando de ser contablemente infinito.

Consideremos, por ejemplo, el conjunto de números algebraicos que contiene todos los números que son raíces de algún polinomio con coeficientes racionales. Este conjunto incluye obviamente $\mathbb{Q}\,$ y es un superconjunto estricto de $\mathbb{Q}$ ya que, por ejemplo $\sqrt{2}$ es un número algebraico (por ser una raíz de $x^2-2=0$ ) pero $\sqrt{2} \not \in \mathbb{Q}\,$ .

Si se tratara de una construcción similar a la de " ejes ", es probable que termines con un número infinito de ellos para cubrir todos los números algebraicos. Sin embargo, el conjunto de los números algebraicos es demostrablemente contable .

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[ EDITAR ]  Para tratar de abordar el punto de @Yakk planteado en un comentario...

Deberías ser más concreto en tu construcción de un contraejemplo a la comprensión intuitiva del OP. Como ejemplo, habla del anillo de polinomios directamente en lugar de los números algebraicos en tu respuesta, luego ilustra cómo tiene la propiedad del eje infinito, y señala que sigue siendo contable.

Elegí los números algebraicos como ejemplo, ya que parecían ajustarse mejor al patrón de extensiones "altísimas" de los conjuntos numéricos en el post original. Dicho esto, la construcción de OP de " ejes " no es lo suficientemente claro para mí como para intentar duplicarlo para los números algebraicos. La idea la saqué de esto (citando) " incontablemente infinito corresponde a infinitas dimensiones " que los " ejes " puede estar relacionado con " dimensiones " o en términos generales alguna otra medida de " grados de libertad ". Mi " contraejemplo " sobre los números algebraicos pretendía dar un ejemplo de un caso de este tipo en el que un " infinitamente dimensional "El superconjunto (de nuevo, hablando en términos generales) resulta que sigue siendo contable .

La relación entre los números algebraicos y los polinomios en $\mathbb{Q}[X]$ es obvio por definición, así que no me explayé mucho al respecto. Uno de los problemas de las preguntas abiertas como ésta es que resulta difícil acertar con el lenguaje que mejor "conecta".

Answer 4

Aunque ciertamente la "intuición" que tienes ayuda, si quieres empezar a abordar cuestiones de cardinalidad, no será suficiente. Es un poco como decir que:

Un conjunto contablemente infinito es aquel en el que se puede contar el siguiente número, mientras que incontablemente infinito es aquel en el que ni siquiera se puede empezar a pasar al siguiente número. Por ejemplo, el siguiente número natural después del 1 es el 2. ¿Cuál es el siguiente número real después del 1?

(En realidad, creo que lo anterior es más útil). Para empezar a abordar algunos de sus comentarios:

Lo primero que me molesta: Dado que el eje es calculable exactamente el doble de largo, debería ser un "infinito mayor" que el de los números naturales, ¿no? Pero aun así, diríamos que $\mathbb{Z}$ tiene la misma cardinalidad que $\mathbb{N}$ ?

Sí, debería molestarte con razón. Es cierto ya que hay una biyección de $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$ . Si desea utilizar su argumento "ejes", puede verlo como el $x-y$ eje de sólo los números naturales, compuesto sólo por los positivos $x$ eje y negativo $y$ eje.

La cantidad de puntos ahora no se suma simplemente, es decir, el eje no se alarga sin más (como en el paso de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ ), pero se multiplica, es decir, ahora hay más ejes, por lo que es incluso un "aumento mayor del infinito"

Ok posiblemente puedas extender tu argumento a todo el $x-y$ plano de sólo los números naturales. El punto principal que estás utilizando es el hecho de que siempre que tengas problemas para contar el conjunto que tienes, sólo tienes que añadir otro eje de los números enteros/naturales. Esto es por supuesto...cierto, si puedes contar un conjunto usando este método, entonces seguro que es contable ya que está demostrado que el producto cruzado de conjuntos contablemente infinitos es contable . Sin embargo, es bastante absurdo decir que "lo incontablemente infinito corresponde a infinitas dimensiones" porque un producto cruzado contablemente infinito de conjuntos contablemente infinitos es también contablemente infinito... y tu argumento lo niega.

Por no hablar de que está lejos de ser útil para demostrar cardinalidades más complicadas y de verdadero interés matemático. Si quieres entender realmente la "cardinalidad" y lo contable frente a lo incontable, sólo puedes empezar usando la definición real de que un conjunto tiene la misma cardinalidad si puedes formar una biyección entre ellos.

Answer 5

Su comprensión de todo el asunto está un poco fuera del camino del sentido matemático regular. No soy un matemático, ni siquiera un estudiante de matemáticas, pero sé algo de matemáticas y déjame decirte algo de lo que entiendo. La mayor diferencia entre los conjuntos R y N es que N es enumerable y R no, y enumerable es otra forma de decir contable. N es algo discreto mientras que R es "continuo". Por cierto, cada 2 reales, siempre habrá un real, sin importar si es racional o irracional, mientras que entre 2 enteros consecutivos, no existe ningún entero. No hay "siguiente" para un real. En cuanto a lo de la dimensión, tienes que conocer la combinación lineal y la dimensión se define como el número mínimo de elementos tal que cada elemento del espacio puede ser representado como una combinación lineal de esos elementos. Esos elementos también deben ser linealmente independientes. En un espacio de dimensión finita, la situación es siempre más sencilla que en un espacio de dimensión infinita. En un espacio de dimensión finita, se tiende a encontrar elementos cuya extensión es densa en lugar de ser todo el espacio. En el caso de R, es unidimensional porque un solo real puede representar a todos los demás por combinación lineal.