¿Cómo la gente consigue la inspiración para la suma de los cubos de leche de fórmula?

Question

Me topé con esta cuidada fórmula para la suma de los cubos con diferentes $x,y\in\mathbb{Z}$ $$(x^2+9xy-y^2)^3+(12x^2-4xy+2y^2)^3=(9x^2-7xy-y^2)^3+(10x^2+2y^2)^3\tag1$$ Con $1729=1^3+12^3=9^3+10^3$ como primera instancia. Y creo que esta fórmula fue utilizada por Ramanujan para encontrar una fórmula para $$a^3+b^3=c^3\pm1$$ Así que mi pregunta?

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Preguntas:

1. ¿Qué sería alguien del proceso de pensamiento a la hora de encontrar otras fórmulas tales como $(1)$?
2. Hay otras fórmulas similares a $(1)$?

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Estoy pensando que a lo largo de las líneas de comenzar con $$(x^2+axy+by^2)^3+(cx^2+dxy+ey^2)^3=(fx^2+gxy+hy^2)^3+(ix^2+jxy+ky^2)^3$$ Pero incluso Mathematica no puede resolver el consiguiente sistema que sigue. Así que por el momento, estoy atascado.

Answer 1

La fórmula que Ramanujan efectivamente registrados, así como de Euler solución, son discutidos por Ono en https://arxiv.org/abs/1510.00735

La fórmula original fue $$\left( 6 a^2 - 4ab + 4 b^2 \right)^3 = \left( 3 a^2 +5ab - 5 b^2 \right)^3 + \left( 4 a^2 - 4ab + 6 b^2 \right)^3 + \left( 5 a^2 - 5ab -3 b^2 \right)^3$$

La fórmula puede ser más simétrica todavía. Las dos clases de formas de discriminante $85$ están representados por $$x^2 + 9 xy - y^2,$$ $$3 x^2 + 7 xy - 3 y^2.$$ The latter is equivalent to $3 x^2 - 5 xy - 5 y^2,$ de descuento por un solo signo menos.

Las dos clases de (primitiva) de las formas de discriminante $-20$ están representados por $$x^2 + 5 y^2,$$ $$2 x^2 + 2 xy + 3 y^2.$$

Es decir, uno puede pasar entre Ramanujan la versión y la de los tuyos mediante el uso de Gauss composición con el fin de multiplicar por $3,$ que pasa entre el género principal y la de otro género, tanto para discriminante $85$ $-20.$

En la página 2 dan Ramanujan la versión moderna de Euler a la solución completa. Cuando $$\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 = 3 \lambda \gamma^2,$$ $$\left( \alpha + \lambda^2 \gamma \right)^3 + \left( \lambda \beta + \gamma \right)^3 = \left(\lambda \alpha + \gamma \right)^3 + \left( \beta + \lambda^2 \gamma \right)^3$$

http://esciencecommons.blogspot.com/2015/10/mathematicians-find-magic-key-to-drive.html