¿Por qué Wolfram Alpha dice que $\infty^\infty$ ¿resultados en el "complejo infinito"?

Question

Cuando se introduce en Wolfram Alpha , $\infty^\infty$ resultados en infinito complejo .

¿Por qué es $\infty^\infty=\tilde\infty$ ?

Answer 1

WA's ComplexInfinity es el mismo que el de Mathematica: representa un "número" complejo que tiene magnitud infinita pero fase desconocida o inexistente. Se puede utilizar DirectedInfinity para especificar la fase de una cantidad infinita, si se acerca al infinito en una determinada dirección. La norma Infinity es el caso especial de la fase 0. Obsérvese que Infinity es diferente de Indeterminate (que sería la salida de, por ejemplo 0/0 ).

Algunos ejemplos esclarecedores:

• 0/0 devuelve Indeterminate ya que (por ejemplo) el límite puede aproximarse como $\frac{1/n}{1/n}$ o $\frac{2/n}{1/n}$ , dando como resultado dos números reales diferentes.
• 1/0 devuelve ComplexInfinity ya que (por ejemplo) el límite puede aproximarse como $\frac{1}{-1/n}$ o como $\frac{1}{1/n}$ pero todas las formas posibles de acercarse al límite dan una respuesta infinita.
• Abs[1/0] devuelve Infinity ya que se garantiza que el límite es infinito y se aproxima a lo largo de la recta real en la dirección positiva.

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En tu ejemplo particular, obtienes ComplexInfinity porque el límite infinito puede aproximarse como (por ejemplo) $n^n$ o como $n^{n+i}$ .

Answer 2

_TLDR: $\infty$ no es un número, y por lo tanto $\infty^\infty$ no tiene sentido, y Wolfram Alpha utiliza $\tilde\infty$ para representar algo que me gusta pensar en el sentido de " compactación de un punto ", un concepto topológico_

A.) El símbolo $\infty$ no es un número en sí mismo. Puede representar muchas cosas, y muchos objetos diferentes pueden ser "infinitamente grandes". Piensa en algo infinito como algo no finito y, en general, tendrás un buen comienzo.

B.) Si el infinito no es un número, no podemos hacer aritmética sobre él que tenga sentido en todo contexto, y por lo tanto, definitivamente no podemos exponetizarlo con sentido sin algunos fundamentos primero. Por ejemplo,

1. hay algunas cosas infinitas donde la aritmética está definida (en algún sentido - compruebe ordinal números ordinales ),
2. Hay algunas cosas en las que la aritmética básica no hace nada (por ejemplo $\infty+1=\infty$ )
3. Hay algunas cosas infinitas en las que definitivamente definitivamente no se puede hacer aritmética en la forma en que está acostumbrado (tomar, por ejemplo, el concepto de límite del infinito de una clase de Cálculo básico básico)

C) Wolfram Alpha parece representar muchas cosas como $\tilde\infty$ que están mal definidos según el sistema de números reales al que estás acostumbrado, por ejemplo, según Wolfram Alpha, $\frac{1}{0}=\tilde\infty$ , mientras que yo diría que $\frac{1}{0}$ es indefinido. Se podría estirar esto para decir que $\frac{1}{0} = \lim_{x\to 0} \frac 1x = \pm\infty$ en el sistema numérico real extendido, pero esto está empezando a forzar las cosas. Para entender realmente lo que Wolfram Alpha está haciendo hay que entender primero la compactación de un punto de $\Bbb C$ . Consulte mi nota al final para ver los enlaces y más detalles.

Notas:

1. Se ha señalado en los comentarios que debería mencionar que el uso de Mathematica/WA $\tilde\infty$ para representar una magnitud infinita sin fase definida. Esto parecía más dependiente del software, aunque entiendo de dónde viene el comentarista. He optado por centrarme en el sistema numérico real al que probablemente esté acostumbrado el OP, y centrarse en el concepto de $\infty^\infty$ en sí mismo, no la interpretación del interpretación.

2. $\tilde\infty$ hace tienen un significado en algún sentido - véase, por ejemplo, esta página de Wikipedia sobre " un punto compactación ". Imaginemos el plano complejo como una gran hoja en la que tomamos las aristas y las juntamos todas en un punto y lo llamamos $\infty$ . Para más información, consulte la página del Esfera de Riemann . De la misma manera, $\infty$ puede tener un significado definido en ciertos contextos fuera del alcance de esta pregunta - véase, por ejemplo, la página de Wikipedia sobre el Línea proyectiva real . En estos contextos, uno podría quizás considerar $\infty$ un número. Para más información, véase la página de Wikipedia "Línea real proyectada" .

Answer 3

Una interpretación en $\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\infty\}$ de $\infty^\infty$ es a través de límites. Por ejemplo $$\lim_{z\to 0}\left(\frac{1}{|z|}\right)^{\frac{1}{|z|}}\underbrace{=}_{\text{symbolic equality}}\infty^\infty=\infty.$$ Nota. $-\infty$ y $+\infty$ no pertenecen a $\overline{\mathbb{C}}$ .

Answer 4

Por lo que sé: Cuando $x$ y $y$ se acercan al infinito positivo, Wolfram Alpha asume que pueden hacerlo a través del plano complejo, siempre que los argumentos (ángulos) de $x$ y $y$ se acercan a cero.

El argumento de $x^{x+i}$ no converge a ningún valor como $x\to\infty$ aunque los argumentos de $x$ y $x+i$ ir a cero. (Esto se debe a que el argumento es $\ln x$ .) Así, Wolfram Alpha responde con el infinito complejo (argumento desconocido) en lugar del infinito positivo.