Campos tensores y haces vectoriales

Question

Sea $M$ sea una variedad diferenciable, $TM$ y $T^*M$ un haz tangente y cotangente de $M$ y que $\Gamma (TM),\ \Gamma (T^*M)$ sean espacios de secciones lisas de $TM$ y $T^*M$ . Sea $T_s^r (M)$ denotan un espacio de campos tensoriales suaves sobre $M$ .

Dado que el campo vectorial en $M$ es una sección suave de $TM$ claramente
$$T_0^1 (M)=\Gamma (TM)$$ y de forma similar $$T_1^0 (M)=\Gamma (T^*M).$$

Mi pregunta está relacionada con algo que vi en unos apuntes de clase sobre geometría diferencial. Había una definición de un campo tensorial como una sección suave de $TM \otimes \dots \otimes TM \otimes T^*M \otimes \dots \otimes T^*M$ . Pero como estos haces no son espacios vectoriales, me parece un poco sospechoso. Creo que el producto de los haces (co)tangentes puede DEFINIRSE "en fibra" en el siguiente sentido

$$ TM \otimes TM \equiv \bigcup_{p \in M} \{T_pM \otimes T_pM\} \ \tag{*}$$ (unión disjunta). Esto también se correspondería con la definición de campo tensorial que conozco. Como campo tensorial de algún tipo es un mapa que asigna a cada punto $p \in M$ un tensor de $T_pM \otimes \dots \otimes T_pM \otimes T_p^*M \otimes \dots \otimes T_p^*M$ suavemente, uno tiene

$$ T_s^r (M) = \Gamma \left( \bigcup_{p \in M} \{T_pM \otimes \dots \otimes T_pM \otimes T_p^*M \otimes \dots \otimes T_p^*M\}\right).$$

Así que mi pregunta es si las siguientes igualdades son ciertas:

$$ \bigotimes^r TM \otimes \bigotimes^s T^*M = \bigcup_{p \in M} \{\bigotimes^r T_pM \otimes \bigotimes^s T_p^*M\}\ \tag{1}$$

$$\Gamma \left( \bigotimes^r TM \otimes \bigotimes^s T^*M \right) = \bigotimes^r \Gamma (TM) \otimes \bigotimes^s \Gamma (T^*M) \ \tag{2}$$

y si el producto tensorial de los haces (co)tangentes no está definido de la forma que propuse en $(*)$ ¿Cuál es la definición correcta o de qué concepto más general se deriva?

Answer 1

Creo que está buscando el concepto de un functor liso . Esencialmente, cualquier construcción functorial sobre espacios vectoriales, como la toma de duales, productos tensoriales y sumas directas, puede aplicarse a un haz vectorial, si para todos los espacios vectoriales $V, W$ el mapa $$\mathcal F : \operatorname{Hom}(V,W) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F(V), \mathcal F(W))$$ es suave utilizando la definición habitual de lo que significa que un mapa entre espacios vectoriales sea suave.

Así, si $E$ y $F$ ambos paquetes sobre $M$ con fibras $V$ y $W$ podemos encontrar un haz denominado $E \otimes F$ también sobre $M$ cuya fibra es $V\otimes W$ . Así que tu primera igualdad es cierta. De hecho, la prueba consiste en hacer lo que sugieres y tomar la unión disjunta del producto tensorial fibra-sabio. Entonces sólo hay que comprobar que esto da un haz liso, pero como el mapa $(A, B) \mapsto A\otimes B$ es suave para transformaciones lineales $A$ y $B$ entre espacios vectoriales de dimensión finita, éste es el caso.

A nivel de secciones, también tiene $$\Gamma(E \otimes F) \cong \Gamma(E)\otimes\Gamma(F)$$ pero el producto tensorial de la derecha es el producto tensorial de $C^\infty(M)$ -módulos. Aquí no hay igualdad estricta, pero los espacios son naturalmente isomórficas. Aquí, naturalmente significa que se puede construir un isomorfismo que no dependa de elecciones arbitrarias. (Para aclararlo: probablemente sepas que si $V$ y $W$ son espacios vectoriales de la misma dimensión, se puede encontrar un isomorfismo $V \cong W$ eligiendo bases para $V$ y $W$ . Pero este isomorfismo depende de las bases que se elijan, por lo que no son naturalmente isomórficas. Sin embargo, $V \otimes W$ y $W \otimes V$ son naturalmente isomórficas. ¿Se te ocurre por qué?)