$\mathbb{C}$ es *clopen*. Qué?

Question

He aprendido en los diferentes cursos de matemáticas, que $\mathbb{C}$ es un clopen conjunto. Estoy muy seguro si entiendo este derecho, por favor, decirme si estos dos ejemplos son verdaderas:

• $\mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$ es abierto,
• $\mathbb{C} \setminus \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \}$ es cerrado.

Gracias.

Answer 1

Un clopen conjunto es un conjunto que es a la vez cerrado y abierto.

Cuando se habla de un espacio, es siempre clopen en sí mismo. Esto es porque queremos que tanto el espacio y el conjunto vacío.

Por lo $\mathbb{C}$ es de hecho clopen en $\mathbb{C}$ (en cualquier topología). Sin embargo, tenga en cuenta que $\mathbb{R}$ es clopen en $\mathbb{R}$, pero como un subconjunto de a $\mathbb{C}$ es en realidad acaba de cerrar. Así que cuando usted se mueve de $\mathbb{C}$ a algo más grande (por ejemplo, la esfera de Riemann), a continuación, $\mathbb{C}$ está abierto y no cerrado.

Answer 2

Todo el espacio es siempre clopen en cualquier topología. Que es parte de la definición de una topología. Los dos ejemplos son correctos.

Answer 3

$\mathbb{C}$ es de hecho clopen ya que es a la vez abierto y cerrado. Tenga en cuenta que una manera de definir la conexión de un espacio en la topología es que no hay no-trivial clopen conjuntos (el conjunto vacío y el conjunto se trivialmente ser clopen independientemente de la topología).