Variación de los trillizos de Pitágoras: $x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 3$

Question

Necesito demostrar que la ecuación $x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 3$ tiene infinitamente muchas soluciones para y, positivo $x y $z$. Llegué a lo más $4 ^ 3 = 8 ^ 2$ pero que parece ser de ninguna ayuda.

¿Alguien puede ayudarme con ella?

Answer 1

Tomar cualquier tripleta pitagórica (a, b, c) de $$.

$$ \begin{align*} una ^ 2 + b ^ 2 y = c ^ 2\\ un ^ 2\cdot c ^ 4 + b ^ 2\cdot c ^ 4 & =(c^2) ^ 3\\ (CA ^ 2) ^ 2 + (bc ^ 2) ^ 2 & =(c^2) ^ \end{align*}$$ 3

Multiplicando $c ^ {6 k-2} $, donde $k$ es un número natural.

Answer 2

Como alternativa, puede tomar cualquier estándar triple de Pitágoras, por ejemplo $3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2$ y luego multiplicar por $5 ^ 4$ para obtener:

$$ 3 ^ 2.5 ^ 4 + 4 ^ 2.5 ^ 4 = 5 ^ 6$ $

es decir

$$ (3.5 ^ 2) ^ 2 + (4.5 ^ 2) ^ 2 = (5 ^ 2) ^ 3$ $

que le dará un conjunto infinito de soluciones.

Answer 3

$$(a^2+1) ^ 3 = a ^ 2 (a ^ 2 + 1) ^ 2 + (a ^ 2 + 1) ^ 2$ $

Answer 4

Set $z=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$, $(i = \sqrt {-1}) $

$x^2+y^2=(x+yi)(x-yi) = z ^ 3 = (a + bi) ^ 3(a-bi) ^ $ 3,

$1 \quad x + yi = (a + bi) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2bi-3ab ^ 2-b ^ 3i, $

$x = un ^ 3-3ab ^ 2, y = 3a ^ 2b-b ^ 3, z = a ^ 2 + b ^ 2. $

$2 \quad x+yi=(a+bi)^2(a-bi)=(a^2+b^2)(a+bi) $

$x =(a^2+b^2) a, y = (a ^ 2 + b ^ 2) b, z = a ^ 2 + b ^ 2$

Answer 5

Hay ya infinitamente muchas soluciones entre $2 ^ k$: $$ 2 ^ k + 2 ^ k = 2 ^ {k+1} $$ así que si $k$ es incluso y $3\, |\, k + 1$ (es decir, $k\equiv 2\pmod {6} $), luego de una solución.