Aquí $G$-conjuntos de denotar la categoría de conjuntos que tienen a la izquierda $G$-acción. Así que la pregunta es si un functor $F \colon \text{$G$-sets} \to \text{$H$-sets}$ implica que tenemos un isomorfismo de grupos de $\phi \colon G \to H$.
Respuesta
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Aleksandr Levchuk
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La categoría de la izquierda $G$-conjuntos es equivalente a la categoría de la izquierda $H$-conjuntos si y sólo si $G$ es isomorfo a $H$.
En efecto, considere la posibilidad de $G$ como $G$-set. Que tiene la propiedad de que $\mathrm{Hom}_G (G, -) : G \textbf{-Set} \to \mathbf{Set}$ conserva todos colimits. Por otra parte, hasta el isomorfismo, $G$ es el único ejemplo de la izquierda $G$, es decir, si $X$ es una izquierda $G$-conjunto tal que $\mathrm{Hom}_G (X, -) : G \textbf{-Set} \to \mathbf{Set}$ conserva todos colimits, a continuación,$X \cong G$. Además, $G$ puede ser recuperado como un grupo: $G \cong \mathrm{Aut} (X)$. Por lo tanto $G$ (como un resumen de grupo) puede ser recuperado de $G\textbf{-Set}$ (como una categoría abstracta).
Los argumentos anteriores son muy específicos para esta situación. Por ejemplo, si sustituye $\mathbf{Set}$$\mathbf{Ab}$, entonces usted puede tener la no-trivial de equivalencias de categorías de representaciones. Este es el fenómeno de la Morita de la equivalencia.
