Demostrar que $\displaystyle\lim_{x \to 3} \sqrt{x+1} = 2$

Question

Demostrar que $\displaystyle\lim_{x \to 3} \sqrt{x+1} = 2$

Tentativa:

$0 < |x - 3| < \delta \Rightarrow |\sqrt{x+1} - 2| < \epsilon$

Así $|\sqrt{x+1} - 2| = |(\sqrt{x+1} - 2) \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{x+1} + 2}{\sqrt{x+1}+2}| = |\frac{x-3}{\sqrt{x+1} + 2}| = |x-3| \cdot \frac{1}{|\sqrt{x+1}+2|}$

Aquí, el segundo término es el molesto así que tal vez hacer algo como lo siguiente:

Supongamos que queremos $|x-3| < 1$. Entonces, $2 < x < 4$.

Así $|x-3| \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+1}+2} < \frac{1}{\sqrt{3}+2} \cdot |x-3|$

Parece que queremos $\delta = \min((\sqrt{3}+2)\epsilon, 1)$

Entonces $|\sqrt{x+1} - 2| = |x-3| \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+1}+2} < \frac{1}{\sqrt{3}+2} \cdot |x-3| < \frac{1}{\sqrt{3}+2} \cdot (\sqrt{3} + 2)\epsilon = \epsilon$

Answer 1

Sugerencia:

Si $f(x)$ es continua,

$$\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$$

y es continua en $\sqrt{x+1}$ $[-1,\infty)$

Answer 2

Su etimología es correcta (creo, se ve a la derecha, pero yo no comprobar cada detalle), pero usted va para mucho. Para demostrar que el límite de la declaración, no es necesario para identificar específicamente el mayor $\delta$ que funciona para cada una de las $\epsilon$. Sólo se necesita demostrar que hay algunos positivos $\delta$ que va a funcionar. Y solo tienes que probarlo para "pequeños" $\epsilon$ (que sigue automáticamente para valores más grandes). Así que, asumiendo $\epsilon < 1$, $\delta = \epsilon$ iba a funcionar, porque la molestia segundo término es menor que 1.

Answer 3

Que $x = y+3$, por lo que $x \to 3$ es igual a $y \to 0$.

$\begin{array}\\ \sqrt{x+1}-2 &=\sqrt{y+4}-2\\ &=(\sqrt{y+4}-2)\dfrac{\sqrt{y+4}+2}{\sqrt{y+4}+2}\\ &=\dfrac{(\sqrt{y+4}-2)(\sqrt{y+4}+2)}{\sqrt{y+4}+2}\\ &=\dfrac{(y+4)-4}{\sqrt{y+4}+2}\\ &=\dfrac{y}{\sqrt{y+4}+2}\\ &\to 0 \text{ as } y \to 0\\ \end{matriz} $

Pasar - nada original aquí.