Sea $M$ , $N$ sean variedades diferenciables, y $f: M \to N $ sea un mapa suave. Sea $\omega \in \Omega^{dim(N)}(N)$ una forma dim(N) en $N$ . Considera la integral:
$$\int_N \omega$$
Sabemos que en el caso de que $M$ y $N$ tienen las mismas dimensiones y f es un difeomorfismo, tenemos:
$$\int_M f^*\omega = \int_N \omega$$
Mi pregunta es la siguiente: ¿cuándo $M$ y $N$ tienen dimensiones diferentes, digamos $dim(M) > dim(N)$ y $f$ es suryectiva, ¿hay alguna forma de expresar $\int_N \omega$ como una integral sobre $M$ utilizando el pullback $f^*$ ?
1 votos
Pregunta interesante, no estoy seguro de saberlo, pero, para el concepto estándar de integración de una forma necesitaríamos $f^* \omega$ es un $dim(M)$ -forma. Entonces, ¿cómo podemos añadir grados de forma natural? Si $M$ y $N$ ¿estaban relacionados por la dualidad de Hodge quizás? Puedo cambiar dos formas en superficies por una forma a lo largo de curvas en tres dimensiones. Espero que alguien responda a tu pregunta.
1 votos
@John: ¿Cómo $\int_M f^* \omega$ siquiera tiene sentido cuando el grado de $\omega$ no es la dimensión de $M$ ?
1 votos
Quizás se podría tomar algo como $f^* \omega \wedge \mu$ donde $\mu \in \Omega^{m-n}(M)$ se integra a 1 a lo largo de cada fibra de $f$ ? Parece que podría funcionar, pero no he calculado nada. Necesitará algunas condiciones adicionales en $f$ para que funcione - la imagen en mi cabeza es probablemente un paquete, pero puede requerir aún más estructura.
1 votos
Pequeña observación editorial: Cuando $f$ es un difeomorfismo, sólo se sabe que $\int_M f^*\omega = \int_N \omega$ (siempre que tenga sentido) cuando $f$ conserva la orientación.
0 votos
@TedShifrin correcto, editaré