Supongamos que $H$ es el único subgrupo de orden $o(H)$ en el grupo finito $G$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Question

Supongamos que $H$ es el único subgrupo de orden $o(H)$ en el grupo finito $G$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Llevo bastante tiempo intentando solucionar este problema pero sin éxito. Lo que no consigo entender es, ¿cómo relacionas que el subgrupo sea normal/anormal con su orden?

Esta pregunta es del libro de I.N.Herstein Temas de Álgebra Página 53, Problema nº 9. ¡¡¡Esto no es un problema de deberes!!! Estoy estudiando este libro por mi cuenta.

Answer 1

Esta es una pequeña contribución, pero en respuesta a un comentario anterior, también se puede resolver esto sin utilizar ninguna propiedad de homomorfismo. Supongamos que el subgrupo $H$ tiene orden $n$ y elegir $g\in G$ . Entonces, para cualquier $h\in H$ : \begin{align} \left(ghg^{-1}\right)^n=\underbrace{ghg^{-1}\cdot ghg^{-1}\cdot\dotsm\cdot ghg^{-1}}_{\text{n times}}=gh^ng^{-1}=geg^{-1}=gg^{-1}=e \end{align} Desde $H$ tiene un orden n. Lo anterior es válido para todas las $h\in H$ por lo que el subgrupo $gHg^{-1}$ tiene un orden n, por lo que es igual a $H$ por suposición. Entonces cada $h\in H$ tiene algunos $h'\in H$ tal que $ghg^{-1}=h'$ , lo que implica $gh=h'g$ Así que $gH=Hg$ .

Answer 2

(lo siento, no he visto los comentarios - esto es un spoiler :-) )

Debe demostrar que $\sigma_x(h) \in H \ \forall x \in G \ $ y $\ \forall h \in H$ , donde $\sigma_x(h)=x^{-1}hx$ . Usted sabe que $\forall x \in G$ , $\sigma_x$ es un automorfismo de $G$ lo que implica que si $K$ es un subgrupo de $G$ entonces también $\sigma_x(K)$ es un subgrupo de $G$ del mismo orden de $K$ (porque $\sigma_x$ es biyectiva). Por lo tanto, como $H$ es el único subgrupo de $G$ de su orden, $\sigma_x(H)=H \ \ \forall x \in G$ y ya está.

Answer 3

Considere el conjunto $xHx^{-1}$ . Demostrar que $xHx^{-1}$ es un subgrupo de $G$ . (mostrar $ab^{-1} \in xHx^{-1} ;\forall a,b \in xHx^{-1} $ )

Ahora bien, si demostramos que existe una relación unívoca y onto entre $H$ y $xHx^{-1}$ es decir $ \phi : H \rightarrow xHx^{-1} $ hemos terminado porque H es el único subgrupo de G y establecer una relación uno-uno significará que ambos tienen el mismo orden y por lo tanto significa que ambos son iguales.

es decir $ |xHx^{-1}| = |H| $

así $ xHx^{-1} = H $

Q.E.D

Answer 4

Por cada $g\in G$ el mapa $h\mapsto ghg^{-1}$ es una biyección de $H$ a $gHg^{-1}$ . Si $H$ es el único subgrupo de orden $o(H)$ entonces $\forall g\in G, gHg^{-1}=H$ es decir $H\unlhd G$ .

Answer 5

Estoy leyendo "Topics in Algebra 2nd Edition" de I. N. Herstein.
Este problema es el Problema 9 de la página 53 del libro de Herstein.
He resuelto este problema de la siguiente manera:

Si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces $aHa^{-1}$ también es un subgrupo de $G$ .
Y si $H$ es finito, entonces $o(aHa^{-1})=o(H)$ .
(Véase el problema 4 en la p. 47 de este libro).
Entonces, por la hipótesis del problema 9, $H=aHa^{-1}$ debe cumplirse para cualquier $a\in G$ .
Por lo tanto $H$ debe ser un subgrupo normal de $G$ .