Supongamos que $H$ es el único subgrupo de orden $o(H)$ en el grupo finito $G$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .
Llevo bastante tiempo intentando solucionar este problema pero sin éxito. Lo que no consigo entender es, ¿cómo relacionas que el subgrupo sea normal/anormal con su orden?
Esta pregunta es del libro de I.N.Herstein Temas de Álgebra Página 53, Problema nº 9. ¡¡¡Esto no es un problema de deberes!!! Estoy estudiando este libro por mi cuenta.
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Si $g\in G$ ¿Cuál es el orden del subgrupo $gHg^{-1}$ ? ¿Qué se puede concluir de ello?
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No sé :( lo que no puedo entender es cómo se relaciona el orden con que el grupo sea normal/anormal.
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No pienses por un momento cuál es la relación entre la normalidad y el orden: intenta ver cuál es el orden del subgrupo $gHg^{-1}$ ?
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El hecho de que estés estudiando el libro por tu cuenta no cambia el hecho de que se trata de una tarea (¡puedes asignarte tareas a ti mismo!)... El punto de saber si una pregunta es tarea o no es para saber si la mejor opción para responder la pregunta es realmente responderla o dar pistas para que la respondas tú mismo.
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La razón por la que especifiqué que estaba estudiando por mi cuenta y que esto no era un problema de "deberes", fue porque soy NUEVA en este sitio (me uní hace 15 minutos), y leí en algún comentario de pasada algo como "es esto un problema de deberes" así que pensé, tal vez no se te permite plantear "problemas de deberes" aquí. No es que esté tratando de evadir los esfuerzos por mi cuenta. Gracias por tu ayuda.
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Lo tengo! Su pista era perfecta! . yo estaba demasiado empeñado en descubrir alguna relación entre el orden y la normalidad. Gracias Mariano :)
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@MarianoSuárez-Alvarez No necesitamos usar eso $G$ es finito para usar ese argumento, ¿verdad?
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@Twink, efectivamente, eso no es necesario.
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Un resultado más fuerte es que si un grupo tiene un subgrupo único de un orden dado, entonces ese subgrupo es característico.