15 votos

Supongamos que $H$ es el único subgrupo de orden $o(H)$ en el grupo finito $G$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Supongamos que $H$ es el único subgrupo de orden $o(H)$ en el grupo finito $G$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Llevo bastante tiempo intentando solucionar este problema pero sin éxito. Lo que no consigo entender es, ¿cómo relacionas que el subgrupo sea normal/anormal con su orden?

Esta pregunta es del libro de I.N.Herstein Temas de Álgebra Página 53, Problema nº 9. ¡¡¡Esto no es un problema de deberes!!! Estoy estudiando este libro por mi cuenta.

20 votos

Si $g\in G$ ¿Cuál es el orden del subgrupo $gHg^{-1}$ ? ¿Qué se puede concluir de ello?

1 votos

No sé :( lo que no puedo entender es cómo se relaciona el orden con que el grupo sea normal/anormal.

1 votos

No pienses por un momento cuál es la relación entre la normalidad y el orden: intenta ver cuál es el orden del subgrupo $gHg^{-1}$ ?

9voto

user3843736 Puntos 41

Esta es una pequeña contribución, pero en respuesta a un comentario anterior, también se puede resolver esto sin utilizar ninguna propiedad de homomorfismo. Supongamos que el subgrupo $H$ tiene orden $n$ y elegir $g\in G$ . Entonces, para cualquier $h\in H$ : \begin{align} \left(ghg^{-1}\right)^n=\underbrace{ghg^{-1}\cdot ghg^{-1}\cdot\dotsm\cdot ghg^{-1}}_{\text{n times}}=gh^ng^{-1}=geg^{-1}=gg^{-1}=e \end{align} Desde $H$ tiene un orden n. Lo anterior es válido para todas las $h\in H$ por lo que el subgrupo $gHg^{-1}$ tiene un orden n, por lo que es igual a $H$ por suposición. Entonces cada $h\in H$ tiene algunos $h'\in H$ tal que $ghg^{-1}=h'$ , lo que implica $gh=h'g$ Así que $gH=Hg$ .

12 votos

Si $(ghg^{-1})^n=e$ it no dice que el orden $(ghg^{-1})=n$ dice que $n\big |_{ord(gng^{-1})}$

1 votos

@3SAT Hola, entonces cómo demuestras que $|gNg^{-1}|=n$ por lo que $H=gNg^{-1}$ ?

5voto

khebbie Puntos 195

(lo siento, no he visto los comentarios - esto es un spoiler :-) )

Debe demostrar que $\sigma_x(h) \in H \ \forall x \in G \ $ y $\ \forall h \in H$ , donde $\sigma_x(h)=x^{-1}hx$ . Usted sabe que $\forall x \in G$ , $\sigma_x$ es un automorfismo de $G$ lo que implica que si $K$ es un subgrupo de $G$ entonces también $\sigma_x(K)$ es un subgrupo de $G$ del mismo orden de $K$ (porque $\sigma_x$ es biyectiva). Por lo tanto, como $H$ es el único subgrupo de $G$ de su orden, $\sigma_x(H)=H \ \ \forall x \in G$ y ya está.

1 votos

Gracias Emilio esto puede parecer una tontería, pero aún no he llegado a la sección de homomorfismo/automorfismo del libro. Este problema se encuentra en la sección que precede a la sección titulada 'Homomorfismo'.) ¡GraciasQ!

4 votos

@Vishnu en ese caso puedes pensarlo así: demostrar que $\forall x \in G$ la función $\sigma_x$ definida anteriormente es biyectiva, y tiene la propiedad de que mapea subgrupos en subgrupos. Además: en caso de que estés acostumbrado a la definición $H \unlhd G$ si $xH = Hx \forall x \in G$ también se puede demostrar que es equivalente a $\sigma_x(h) \in H$ $\forall x \in G $ . Espero que esto ayude ;-)

1 votos

@EmilioFerrucci ¿Puedes decirme dónde estamos utilizando el hecho de que $G$ es finito? Gracias.

5voto

Prince Puntos 11

Considere el conjunto $xHx^{-1}$ . Demostrar que $xHx^{-1}$ es un subgrupo de $G$ . (mostrar $ab^{-1} \in xHx^{-1} ;\forall a,b \in xHx^{-1} $ )

Ahora bien, si demostramos que existe una relación unívoca y onto entre $H$ y $xHx^{-1}$ es decir $ \phi : H \rightarrow xHx^{-1} $ hemos terminado porque H es el único subgrupo de G y establecer una relación uno-uno significará que ambos tienen el mismo orden y por lo tanto significa que ambos son iguales.

es decir $ |xHx^{-1}| = |H| $

así $ xHx^{-1} = H $

Q.E.D

4voto

Por cada $g\in G$ el mapa $h\mapsto ghg^{-1}$ es una biyección de $H$ a $gHg^{-1}$ . Si $H$ es el único subgrupo de orden $o(H)$ entonces $\forall g\in G, gHg^{-1}=H$ es decir $H\unlhd G$ .

-1voto

BCK Puntos 359

Estoy leyendo "Topics in Algebra 2nd Edition" de I. N. Herstein.
Este problema es el Problema 9 de la página 53 del libro de Herstein.
He resuelto este problema de la siguiente manera:

Si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces $aHa^{-1}$ también es un subgrupo de $G$ .
Y si $H$ es finito, entonces $o(aHa^{-1})=o(H)$ .
(Véase el problema 4 en la p. 47 de este libro).
Entonces, por la hipótesis del problema 9, $H=aHa^{-1}$ debe cumplirse para cualquier $a\in G$ .
Por lo tanto $H$ debe ser un subgrupo normal de $G$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X