Motivación para las relaciones definir $H^1(G,A)$ de cohomología no conmutativa

Question

En primer lugar, permítanme revisar la definición de la primera no-conmutativa cohomology. Deje $G$ ser un grupo y $A$ a la izquierda $G$-grupo, es decir, para cualquier $\sigma, \tau\in G$$a, b\in A$, uno ha $\sigma(\tau(a))=(\sigma\tau)(a), \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$.

1-cocycle de $G$ $A$es una función de $f: G\to A$ tal que $f(\sigma\tau)=f(\sigma)\sigma(f(\tau))$ cualquier $\sigma, \tau\in G$. Dos de 1 cocycles $f, g$ son equivalentes si existe $c\in A$ tal que $f(\sigma)=c^{-1}g(\sigma)\sigma(c)$ todos los $\sigma\in G$, esto se comprueba fácilmente a ser una relación de equivalencia. A continuación, el primer no-conmutativa cohomology $H^1(A,G)$ se define como el conjunto de 1-cocycle modulo de equivalencia de la relación. Este es un acentuados con punto base dada por el trivial cocycle.

Mi pregunta es: tanto las relaciones de $f(\sigma\tau)=f(\sigma)\sigma(f(\tau))$ $f(\sigma)=c^{-1}g(\sigma)\sigma(c)$ parecen ser antinatural. No existe una buena motivación para que estas relaciones?

Answer 1

Aquí es una aplicación que puede proporcionar un poco de motivación. Dado un grupo finito $G,$ uno podría considerar la posibilidad de una representación de $G.$ Estos son finito dimensionales $\mathbb{F}$-espacios vectoriales $V$ que $G$ actúa como transformaciones lineales. Pero, ¿qué es una transformación lineal?

Usted puede estar pensando que se trata de una matriz. Pero estaría equivocado.

Una técnica que usted puede haber pasado por alto cuando el primer aprendizaje de álgebra lineal es que las matrices son representaciones de las transformaciones lineales con respecto a un elegido. Dicho de otra manera, dada una base $\beta$ $V$ se obtiene un homomorphism de $[\cdot]_{\beta}: End(V) \rightarrow M_n(\mathbb{F})$ desde el anillo de transformaciones lineales de $V$ $n$ $n$matrices de más de $F.$, Y dada una base diferente a $\beta'$ uno puede obtener una diferente homomorphism $[\cdot]_{\beta'}.$ por Suerte, estos homomorphisms están relacionados por la conjugación de la matriz de cambio de base $M_{\beta, \beta'}.$ Ahora uno podría pensar en una representación de $G$ como un homomorphism de$G$$GL_n(\mathbb{F}),$, pero con el fin de asociar un mapa a una representación, uno primero debe elegir una base y, en general, no hay mejor opción. Para evitar este tipo de elección, una vez asociados a la representación del conjunto de todos los homomorphisms de $G$ $GL_n(\mathbb{F})$obtenido en la elección de una base para $V.$ Este conjunto de homomorphisms es exactamente un $GL_n(\mathbb{F})$ conjugacy órbita en $Hom(G,GL_n(\mathbb{F}))$ es decir, un elemento de $H^1(G,GL_n(\mathbb{F}))$ donde $G$ actos trivialmente en $Gl_n(\mathbb{F}).$ Por otro lado, a cualquier elemento de $c \in H^1(G,GL_n(\mathbb{F}))$ podemos asociar la representación por cualquier elevación de $c$ $C^1(G,GL_n(\mathbb{F})).$se verifica que estos mapas son inversas y así vemos que hay un bijection

$$H^1(G,GL_n(\mathbb{F})) \cong \{\text{n-dimensional Linear Representations of G over } \mathbb{F}\}.$$

Uno puede ampliar la categoría de representaciones de $G$ considerando semilinear representaciones. Estos son finitos tridimensional de espacios vectoriales $V$ junto con una acción de $G$ $V$ $\mathbb{F},$ tal que

1. $g(cv)=g(c)g(v)$ todos los $c \in \mathbb{F}$ $v \in V$
2. $g(v_1 + v_2)=g(v_1) + g(v_2)$ todos los $v_1,v_2 \in V.$
3. $G$ actúa en $\mathbb{F}$ como campo de automorfismos

Entonces, uno puede contar una historia similar como en el caso de las representaciones lineales. Dado un semilinear representación $V$ $G$ se obtiene para cada base $\beta$ $V$ un mapa de $f_{\beta}:G \rightarrow GL_n(\mathbb{F})$ que envía a $g$ $[g]_{\beta}.$se verifica que dicho mapa satisface $f_{\beta}(g_1g_2) = f_{\beta}(g_1)g_1(f_\beta(g_2))$, y para una segunda base $\beta'$ $V$ los dos mapas de $f_{\beta}$ $f_{\beta'}$ están relacionados por $M_{\beta,\beta'}^{-1}f_{\beta}(g)g(M_{\beta,\beta'}) = f_{\beta'}.$ Asociando a $V$ el conjunto de todos los mapas, obtenemos un elemento de $H^1(G,GL_n(\mathbb{F}))$ donde la acción de la $G$ $GL_n(\mathbb{F})$ es inducida a partir de la acción de la $G$ $\mathbb{F}.$ Llamando a la acción de $G$ en $\mathbb{F}$ $\Sigma.$ Se sigue por un idéntico argumento como el anterior

$$H^1(G,GL_n(\mathbb{F})) \cong \{\text{n-dimensional Semi-Linear Representations of G over } \mathbb{F} \text{ where G acts on } \mathbb{F} \text{ by } \Sigma\}.$$

Answer 2

Es un hecho bien conocido en la topología algebraica que para un grupo abelian $A$ (o más generalmente, cualquier gavilla de abelian grupos $A$) y en cualquier espacio topológico $X$, la gavilla cohomology grupo $H^1 (X, A)$ es en bijection con el conjunto de $A$-torsors (un.k.una. la directora $A$-paquetes) en $X$. En términos generales, a un local de la trivialización de un $A$-torsor da un Čech $1$-cocycle para $A$, y el cohomology de la clase de este cochain sólo depende de la isomorfismo de clase de la $A$-torsor y la elección de la trivialización. Como yo lo entiendo, la definición de $H^1$ para los no-abelian $A$ está diseñado de modo que este teorema sigue siendo cierto.

Entonces, ¿cómo podemos llevar esta idea al grupo cohomology? Bueno, para cualquier grupo discreto $G$ y cualquier $G$-módulo de $A$, el grupo de cohomology $H^* (G, A)$ es naturalmente isomorfo a topos cohomology $H^* (\mathbf{B} G, A)$ donde $\mathbf{B} G$ es la categoría de la izquierda $G$-conjuntos. La definición de $A$-torsor tiene sentido en cualquier lugar y para cualquier grupo interno $A$, y en el caso de $\mathbf{B} G$, se reduce a esto: $A$- torsor es habitada izquierda $G$-establecer $X$ equipada con un $G$-equivariant derecho $A$-la acción que el mapa de $X \times A \to X \times X$ envío de $(x, a)$ $(x, x \odot a)$es un bijection.

En particular, para cualquier elección de $x$, el mapa de $a \to x \odot a$ es un bijection de conjuntos de $A \to X$. Pero esto no es un $G$-equivariant bijection: después de todo, $g \cdot (x, a) = (g \cdot x, g \cdot a)$, y que obtiene asignada a$(g \cdot x, (g \cdot x) \odot (g \cdot a))$, $G$- equivariance es igual a $g \cdot (x, x \odot a) = (g \cdot x, g \cdot (x \odot a))$; así $$(g \cdot x) \odot (g \cdot a) = g \cdot (x \odot a)$$ pero no es necesariamente cierto que $x \odot (g \cdot a) \stackrel{?}{=} g \cdot (x \odot a)$. Independientemente de ello, tenemos un conjunto teórico bijection, por lo que para cada una de las $g$ $G$ existe un único elemento $f(g)$ $A$ tal que $$g \cdot x = x \odot f(g)$$ y otro $h$$G$, tenemos \begin{align} x \odot f (h g) & = h g \cdot x \\ & = h \cdot (g \cdot x) \\ & = h \cdot (x \odot f(g)) \\ & = (h \cdot x) \odot (h \cdot f(g)) \\ & = (x \odot f(h)) \odot (h \cdot f(g)) \\ & = x \odot (f(h) (h \cdot f(g))) \end{align} que por la singularidad implica $$f (h g) = f(h) (h \cdot f(g))$$ que lo y he aquí que es la condición de la definición de un $1$-cocycle para $A$. (Usted podría hacer todo esto de una izquierda $A$-acción en $X$, pero que le da un diferente ecuación.)

Lo que si elegimos un elemento diferente de $X$, decir $x'$? De nuevo, lo $x'$ es decir, existe un único elemento $c$ $A$ tal que $$x' = x \odot c$$ así que, si $f'$ $1$- cocycle asociados con $x'$, luego $$g \cdot x' = x' \odot f'(g) = x \odot (c f'(g))$$ y $$g \cdot x' = g \cdot (x \odot c) = (g \cdot x) \odot (g \cdot c) = x \odot (f(g) (g \cdot c))$$ y por lo tanto $$f'(g) = c^{-1} f(g) (g \cdot c)$$ que es precisamente la definición de la equivalencia de $1$-cochains.

ACEPTAR, es decir, para cada $A$-torsor da lugar a un cohomology clase de $1$-cocycles, y obviamente esta construcción sólo depende de la isomorfismo de clase de la $A$-torsor. ¿Qué acerca de la otra manera? Deje $f : G \to A$ $1$- cocycle y deje $X = A$ con el siguiente $G$acción: $$g \cdot x = x f(g)$$ Esta es una $G$-acción, debido a que $f(1_G) = 1_A$ y $$h g \cdot x = x f(h g) = x f(h) (h \cdot f(g)) = (h \cdot x) (h \cdot f(g)) = h \cdot (x f(g)) = h \cdot (g \cdot x)$$ y obviamente $A$ actúa sobre sí mismo $G$-equivariantly porque $A$ $G$- grupo. Observar también que $X$ tiene una canónica elemento, a saber,$1_A$, y es fácil ver que el $1$-cocycle que se define es exactamente $f$. Por otro lado, si $f$ $1$- cocycle correspondiente a una $A$-torsor $\tilde{X}$ y un elemento $\tilde{x}$, entonces no hay una única $(G, A)$-equivariant isomorfismo $X \to \tilde{X}$ envío de $1_A$$\tilde{x}$. Por lo tanto las dos construcciones son mutuamente inversas hasta isomorfismo, y $H^1(G, A)$ realmente clasificar a $A$-torsors hasta isomorfismo.