¿Existe alguna ecuación para el triángulo?

Question

Como que hay una ecuación de un círculo, hay alguna ecuación de un triángulo?

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He estado tratando de construir uno y lo más parecido que he conseguido es crear una ecuación de 2 líneas y el uso de la $x$ eje de la 3ª lado del triángulo.

He aquí cómo he construido las dos líneas ecuación:

Deje $m$ ser la pendiente de la primera línea, $-m$ es la pendiente de la segunda línea, y $a$ es el valor de x de su punto de intersección.

La primera cosa que necesitamos hacer es encontrar el intercepto de la segunda línea. Vamos a llamar a $p$. La primera línea de la ecuación es $y=mx$ y la segunda línea de la ecuación es $y=-mx+p$

$ma=-ma+p$

$p=2ma$

Así que necesitamos para construir una ecuación que equivale a $y=mx+n$ al $x<a$ $y=-mx+2ma$ al $x>a$. En primer lugar vamos a manejar la pendiente. Debería ser $m$ al $x<a$ $-m$ al $x>a$.

Esto puede lograrse mediante:

$\dfrac {a-x} {|a-x|} m$

El intercepto de la ecuación final debería ser $0$ al $x<a$ $2ma$ al $x>a$.

Esto puede lograrse mediante:

$(\dfrac {x-a} {|a-x|} + 1)*2ma$

Así que nuestra ecuación se parece a:

$y=\dfrac {a-x} {|a-x|} mx+(\dfrac {x-a} {|a-x|} + 1)*2ma$

Simplificado:

$y=\dfrac {-m(x-a)^2} {|a-x|} + ma$

O:

$y=m(x-a)sgn(a-x)+ma$

Parcela de $m=2, a=5$:

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Así que es allí cualquier manera de construir una ecuación de triángulo sin el uso de la $x$ eje de la 3ª lado del triángulo?

Answer 1

Si usted realmente desea una única ecuación que define un triángulo, usted podría hacer un truco como

$$ \big(|x-a|+|x-b|-|a-b|\big) \big(|x-b|+|x-c|-|b-c|\big) \big(|x-c|+|x-a|-|c-|\big)=0 $$

donde $x$ es el desconocido y $a, b, c$ son los vértices del triángulo, siendo todos los vectores.

Sin embargo, esta ecuación no en particular, ayudará a entender el triángulo, ni va a ser muy útil para el razonamiento o cálculo de cosas acerca de ella. En casi todas las aplicaciones concebibles, una representación diferente de la del triángulo de una ecuación será más útil.

Answer 2

Algunos "cerrado" expresiones para el triángulo son bastante útiles, como se hará evidente a partir de la siguiente página web: Eficiente en 2-D Y 3-D Sondas de Punto

La esencia del método es el llamado isoparamétricos ("parámetros") transformación, donde "isoparamétricos" es una terminología que es bastante común en elementos Finitos contextos. Una elaborada explicación de lo que se ha dado en el MSE, como una respuesta a la siguiente pregunta: Conversión de triángulos isósceles, equilátero o a la derecha???

Las fórmulas que expresan las coordenadas locales $\xi$ $\eta$ en el global de coordenadas $x$ $y$ se repite aquí por comodidad: $$ \begin{array}{ll} \xi = [ (y_3 - y_1).(x - x_1) - (x_3 - x_1).(y - y_1) ]/\Delta \\ \eta = [ (x_2 - x_1).(y - y_1) - (y_2 - y_1).(x - x_1) ]/\Delta \end{array} $$ Aquí $\Delta$ es el determinante de la transformación inversa.
Con lo anterior, el "cerrado" triángulo de la ecuación de $T(x,y) = 0$ simplemente se da con: $$ T(x,y) = \min( \xi , \eta , 1 - \xi - \eta )$$ El máximo de la función de $T$$\xi = \eta = 1 - \xi - \eta = 1/3$ , por lo tanto, en el punto medio (baricentro) del triángulo. Si queremos dibujar líneas rectas desde el punto medio hacia los vértices, y más, entonces todo el avión se subdivide en tres regiones, una en $T(x,y) = \xi$ , donde el $T(x,y) = \eta$, y donde $ T(x,y) = 1 - \xi \eta$ . Our "inside/outside" function $T$ is zero at the triangle sides, positive inside and negative outside. It's shaped like a mountain with top $1/3$ at the midpoint and three sharply edged slopes downhill. The contour lines of this function are triangles, where the contour line with height $0$ is the original triangle itself. ( Quite the same is the case with the equation of e.g. a circle: $C(x,y) = 0$ with $C(x,y) = R^2 - (x-a)^2 - (y-b)^2$. )

Answer 3

No hay ningún estándar de la ecuación de un triángulo, como la hay para un círculo, parábola o una elipse. La razón es que el círculo, por ejemplo, tiene un claro clásica definición geométrica: Un lugar geométrico de los puntos. Sería algo así como "El conjunto de puntos que tienen una distancia fija a un punto dado". A partir de esta definición, se podría utilizar la fórmula de la distancia para llegar a una ecuación algebraica. El círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola todos han clásicos tales definiciones son secciones cónicas) y, por tanto, un conjunto de ecuaciones estándar. Un triángulo no cae en esa categoría. No hay ninguna definición clásica de "un conjunto de puntos" que únicamente describe un triángulo.

Answer 4

Triángulo $A$ puntos $x, y, z \in \Bbb{R}^2$ es el límite del conjunto convexo que contiene a los puntos o el conjunto de todos los $w = ax + by + cz, \ \ a + b + c = 1, \ a,b,c \geq 0$. Leting $S$ ser ese conjunto convexo, entonces el $A = \partial S$, el límite de $S$.

Answer 5

Construcción de la fórmula de Alon Gubkin, usted puede simplemente:

a*m+m*(-a+t)signo [a t] = m(a-Abs[a-t])

suponiendo a > 0 y m > 0 y t > 0