Prueba de

Question

$\log(xy) = \log (x) + \log ( y)$ y su división de contra parte fueron mencionados en una axiomática forma en que he fallado la prueba.

He notado que la correlación con la exponencial de las reglas de la adición de poderes en el caso de la multiplicación de una sola base y restar en caso de división, pero si hacemos proceder con que, ¿cómo podemos tomar registro de los términos relacionados con los operadores aritméticos ?

no tiene que ser la base de $10$, pero lo he pillado por conveniencia.

otra pregunta , con el hecho de que y = log x a la base a es la función inversa de x = a^y eso no significa que el identitiy mencionado en el begingin es la inversa de 10^x+y = 10^x 10 ^ y ?

Answer 1

Que $r=\log(x), s=\log(y)$ y $t=\log(xy)$.

$x=10^r,y=10^s$ Y $xy=10^t=10^r10^s=10^{r+s}$.

Por lo tanto, $t=r+s$, es decir, $\log(xy)=\log(x)+\log(y)$.

Answer 2

Utilizando una definición de logaritmo, $\ln(x) := \int_1^x \frac{dt}{t}$, podemos probar esto sin una definición de exponenciación.

$$ \ln(ab) = \int_1^{ab}\frac{dt}{t} = \int_1^a\frac{dt}{t} + \int_a^{ab} \frac{dt}{t} = \ln(a) + \int_a^{ab} \frac{dt}{t} $$ Luego podemos hacer un u-sustitución de con $u= \frac ta$, es decir, los límites de los restantes integral puede ser re-expresadas como $1$$b$. También, tenga en cuenta que$a du = dt$$au = t$, es decir, nos encontramos con que $ \int_a^{ab} \frac{dt}{t} = \int_1^b \frac{a\,du}{au} = \int_1^b \frac{du}{u} = \ln(b)$.

Ahora nos encontramos con que $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, usando solo lo básico de las propiedades de las integrales.

Answer 3

Teniendo en cuenta que $\log(x)$ es la función inversa de $e^x$ tiene

$$e^{\log(xy)} = xy = e^{\log(x)} \cdot e^{\log(y)} = e^{\log(x)+\log(y)}$$

Pero puesto que la función exponencial es inyectiva $\log(xy) = \log(x)+\log(y)$

Answer 4

$\log xy = \log x + \log y\\ 10 ^ {\log xy} = 10 ^ {(\log x + \log y)} \\ 10 ^ {\log xy} = (10 ^ {\log x}) (10 ^ {\log y}) \\ xy = (x)(y)$

Answer 5

Que $b, x, y > 0$, $b \neq 1$. Supongamos que $log_b x = u$ y que $\log_b y = v$. Entonces, por definición de logaritmo, $b^u = x$ y $b^v = y$. Por lo tanto, $$\log_b{xy} = \log_b(b^ub^v) = \log_b b^{u + v} = u + v = \log_b x + \log_b y$ $ y $$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b \left(\frac{b^u}{b^v}\right) = \log_b b^{u - v} = u - v = \log_b x - \log_b y$ $