¿Submódulos de módulos libres finitamente generados siempre son gratis?

Question

Creo que no es cierto que todos los submódulos de un módulo libre finitamente generado no sólo en base a resultados de google. ¿Hay un ejemplo canónico de un módulo libre finitamente generado con un submódulo que no es libre?

Answer 1

Si $R$ es un anillo que no es un anillo ideal principal, entonces generalmente sus ideales no son gratis. Pero son submódulos de $R$, que es gratuito y finitamente generado.

Por ejemplo, el % ideal de $(x,y)$en el anillo $\mathbb C[x,y]$ no es gratis.

Answer 2

El siguiente resultado es relevante para tu pregunta:

Un submódulo de un finitely libres generados por el módulo a través de un director ideal dominio está libre. (Por ejemplo, podemos usar la estructura teorema de finitely módulos generados durante director ideal dominios.)

En particular, necesitamos pensar acerca de la propiedad conmutativa de los anillos que no son principales ideal dominios con el fin de responder a su pregunta. El polinomio anillo en dos variables a lo largo de un campo es un buen ejemplo de un anillo.

Permítanme ampliar Mariano buen ejemplo. Voy a hacer esto mediante la introducción de una secuencia de ejercicios:

Ejercicio 1: Demostrar que $\{x,y\}$ no es un $\mathbb{C}[x,y]$-base para el $\mathbb{C}[x,y]$-módulo de $(x,y)$.

Sin embargo, es un poco complicado de demostrar que $(x,y)$ no $\mathbb{C}[x,y]$-módulo. Tenemos que mostrar, en este contexto, que no existe un $\mathbb{C}[x,y]$-base para $(x,y)$, lo que es más difícil de demostrar que un particular tupla de elementos de $(x,y)$ no es un $\mathbb{C}[x,y]$-base para $(x,y)$.

Ejercicio 2: Demostrar que $(x,y)$ no $\mathbb{C}[x,y]$-módulo. (Sugerencia: tensor de más de $\mathbb{C}[x,y]$ con la fracción de campo $\mathbb{C}(x,y)$$\mathbb{C}[x,y]$. ¿Cuál es la dimensión de la $(x,y)\otimes_{\mathbb{C}[x,y]}\mathbb{C}(x,y)$ $\mathbb{C}(x,y)$- espacio vectorial?)

Finalmente, si usted ha visto la (importante) la noción de curvatura, entonces el siguiente ejercicio puede servir como una buena práctica con esta idea:

Ejercicio 3: se Puede demostrar que $(x,y)$ no es ni siquiera un plano $\mathbb{C}[x,y]$-módulo? (Sugerencia: ¿te acuerdas de la ecuacional criterio de planitud (cf. el primer teorema en el capítulo 2 de Hideyuki Matsumura, el Álgebra Conmutativa)?)

Álgebra conmutativa y geometría algebraica están estrechamente conectados ramas de las matemáticas y por lo tanto siempre es una buena idea para la interpretación de los resultados en álgebra conmutativa en el contexto geométrico:

Ejercicio 4: Si usted sabe algunos de geometría algebraica (por ejemplo, Hilbert nullstellensatz), luego de interpretar los Ejercicios 1 - 3 (y sus respuestas) geométricamente. (Sugerencia: el plano es un poco difícil de interpretar geométricamente, pero es muy natural en el contexto geométrico; si no son conscientes de la interpretación geométrica de la curvatura, a continuación, por favor, mira hacia arriba.)

Ejercicio 5: ¿se Pueden generalizar los Ejercicios 1 - 4 a un campo arbitrario en lugar del complejo campo de $\mathbb{C}$?

Espero que esto ayude!

Answer 3

Un ejemplo sencillo es considerar $\mathbb{Z}_2^{\mathbb{N}}$ como anillo y como un módulo libre sobre sí mismo y $\mathbb{Z}_2$, y un argumento simple de do de cardinalidad el trabajo, un módulo libre es suma directa de copias del anillo.