Hacer los Números de Liouville forma un campo?

Question

Los números de Liouville son aquellos que son mejores que las exponencialmente aproximada por racionales. Más precisamente, decimos que $x\in\mathbb{R}$ es de Liouville cuando para todo $n\in\mathbb{N}$ $\tfrac pq\in\mathbb{Q}$ con $$\left|x-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{p^n}.$$ Para los efectos de esta pregunta, vamos a tomar los números racionales para ser de Liouville.

Hacer los números de Liouville forma un campo? A mí me parece que si $x\simeq \tfrac pq$ y $x'\simeq \tfrac {p'}{q'}$ entonces $x+x',x-x',xx'$ y $x/x'$ se aprroximated por $\tfrac pq+\tfrac {p'}{q'},\tfrac pq-\tfrac {p'}{q'},\tfrac pq\tfrac {p'}{q'}$ y $\tfrac pq/\tfrac {p'}{q'}$, con la aproximación sólo llegar cuadráticamente peor en cada caso.

Pero nunca he visto que se menciona en ninguna parte que los números de Liouville forma un campo, y se podría pensar que si se tratara de la página de la wikipedia, al menos mencionarlo.

Ellos también lo son o no?

Answer 1

Ni siquiera un aditivo grupo. Uno de los célebres resultados por Paul Erdős es que para cada número real $t$ existe Liouville números de $x$, $y$ de $u$, $v$ que

$$t=x+y=uv$$

La referencia es

Paul Erdős. Las representaciones de los Números Reales como Sumas y Productos de los Números de Liouville. Michigan Matemáticas. Diario 9, páginas 59 y 60, 1962.

Answer 2

Esto es más de un comentario, pero es un poco demasiado largo para uno. Como marwalix menciona en su respuesta, a cada número real puede ser escrito como la suma de dos números de Liouville. (Y cada número real puede ser escrito como el producto de dos números de Liouville. Al menos es cierto que el recíproco de un número de Liouville es de nuevo un número de Liouville, con la obvia aproximaciones racionales.) Pensé que sería instructivo para demostrar la prueba con un ejemplo específico.

Con $$\begin{multline*} \sqrt2= 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679\\ 7379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248\dots, \end{multline*}$$ definir $$\begin{multline*} a= 1.010000562373095048801688000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009248\dots \end{multline*}$$ y $$\begin{multline*} b= 0.404213000000000000000000724209698078569671875376948073176679\\ 7379907324784621070388503875343276415727350138462309122970240000\dots. \end{multline*}$$ ($B$, con el correr de los $0$s al final de la línea se inicia en el $(5!+1)$st decimal y se va a los $6!$º lugar; $a$ le, a continuación, tienen una ejecución de $0$s de partida en el $(6!+1)$st decimal y va a los $7!$º lugar; entonces $b$ a tener otra carrera de de $0$s, y así sucesivamente.)

La prueba usual muestra que $a$ y $b$ son números de Liouville, y que claramente se suma a los $\sqrt2$.