¿Es la raíz cuadrada de una matriz semi definida positiva un único resultado?

Question

Estoy tratando de descomponer una serie de tiempo de $n$ observaciones $\bf{\mathrm{v_c}}$ en la $n \times n$ varianza-covarianza de la estructura de $\sum$ y una serie aleatoria $\bf{\mathrm{v}}$.

De modo, que pueda derivar de la varianza-covarianza de la matriz $\sum$ a partir de la función de autocorrelación de la $\bf{\mathrm{v_c}}$. Esta será una matriz de Toeplitz, lo cual es positivo semidefinite. Por lo tanto, soy capaz de calcular una matriz adecuada $\sum^{-\frac{1}{2}}$ a transformar mi correlaciona serie en un azar de la señal.

$\bf{\mathrm{v}} = \sum^{-\frac{1}{2}}\bf{\mathrm{v_c}}$

Yo soy capaz de hacer esto mediante la sqrt(m) de la función en MATLAB, pero también se puede encontrar una factorización Cholesky de la varianza-covarianza de la matriz y el uso de esta para inducir las correlaciones. Sin embargo, obtengo diferentes (pero algo similar), los resultados para la serie aleatoria utilizando el sqrtm y métodos de Cholesky.

He leído a través de varios textos para determinar cómo podría determinar la raíz cuadrada de diferentes matrices, y han mirado autovalor métodos de descomposición y así sucesivamente. Veo que sólo hay soluciones únicas bajo ciertas condiciones prescritas - pero supongo que estos únicas soluciones son todavía sólo una de las muchas raíces?

Mi pregunta es: ¿hay alguna manera de argumentar que un particular, de la raíz cuadrada es mejor que la otra. Si no, hay alguna forma de extraer todas las posibles soluciones, de tal manera que todas las posibles funciones aleatorias pueden ser obtenidos?

Answer 1

Vamos a una matriz de $\mathbb{V}$ tienen "raíces cuadradas" $\mathbb{A}$$\mathbb{B}$; es decir,

$$\mathbb{V = AA^\intercal = BB^\intercal}.$$

Por simplicidad, suponga que la matriz original $\mathbb{V}$ es invertible (que es equivalente a ser positiva definida bajo los supuestos). Entonces $\mathbb{A}$, $\mathbb{B}$, y sus transpuestas también debe ser invertible porque

$$ \mathbb{I} = \mathbb{V^{-1}V} = \mathbb{V^{-1}AA^\intercal} = \mathbb{(V^{-1}A)A^\intercal}$$

exhibe una izquierda inversa para $\mathbb{A}^\intercal$, lo que implica la $\mathbb{A}$ es invertible; el mismo argumento se aplica a $\mathbb{B}$, por supuesto. Aprovechamos estas inversos a escribir

$$\mathbb{(B^{-1}A)(B^{-1}A)^\intercal = B^{-1} (A A^\intercal) B^{-1}{^\intercal} = B^{-1} (V) B^{-1}{^\intercal}=B^{-1}(BB^\intercal)B^{-1}{^\intercal} = I\ I = I},$$

mostrando que $\mathbb{O=B^{-1}A}$ es ortogonal de la matriz, es decir, $\mathbb{OO^\intercal=I}$. El conjunto de matrices de dos formas suaves real colectores de dimensión $n(n-1)/2$ al$\mathbb{V}$$n$$n$. Geométricamente, ortogonal de matrices corresponden a rotaciones o a una reflexión seguida por las rotaciones, dependiendo del signo de su determinante.

Por el contrario, cuando se $\mathbb{A}$ es una raíz cuadrada de $\mathbb{V}$, similar pero más sencillo), los cálculos muestran que $\mathbb{AO}$ también es una raíz cuadrada de cualquier ortogonal de la matriz $\mathbb{O}$--y no importa aquí si $\mathbb{A}$ es invertible o no.

También es fácil ver que la multiplicación por una matriz ortogonal (no igual a $\mathbb{I}$) que realmente no alterar la raíz cuadrada de una matriz invertible. Después de todo, $\mathbb{AO = A}$ implica inmediatamente $\mathbb{O = A^{-1}A = I}$. Esto demuestra que las raíces cuadradas de positivo-definida matrices se pueden poner en un uno-a-uno la correspondencia con el ortogonal de matrices.

Esto demuestra que las raíces cuadradas de positivo-definida matrices se determina sólo hasta la multiplicación por matrices ortogonales. Para las semifinales del caso concreto, la situación es más complicada, pero, como mínimo, la multiplicación por una matriz ortogonal conserva la propiedad de ser una raíz cuadrada.

Si usted desea aplicar criterios adicionales para su raíz cuadrada usted podría ser capaz de identificar un único o al menos reducir la ambigüedad: eso depende de sus preferencias particulares.