¿Podemos siempre multiplicamos alguna función que no es diferenciable por todas partes con la función que es obtener producto diferenciable?

Question

Primero de todo, creo que antes de que indica la pregunta general que estaría bien hacer algún ejemplo concreto de lo que tengo en mente.

Tomemos la función de $f(x)=|x|$.

Podríamos escribir esta función como $f(x)= \begin{cases}x&{x>0}\\-x&x<0 \\ 0& {x=0} \end{cases}$.

Esta función es diferenciable en todas partes, excepto en el punto de $x=0$.

Ahora vamos a multiplicar esta función, por ejemplo, la función $g(x)=x$.

Ahora tenemos $f(x)g(x)=\begin{cases}{x^2}&{x>0}\\{-x^2}&{x<0}\\ 0&{x=0} \end{cases}$.

Claramente $f(x)g(x)$ es diferenciable en todas partes.

¿Qué podemos hacer aquí?

Hemos multiplicado función que no era diferenciable en un punto con alguna otra función que es la de la clase $C^{\infty}$ y se obtuvo la función es diferenciable en todas partes.

Ahora me gustaría hacer la pregunta en la que se aborda el caso general:

Supongamos que tenemos una función real de una variable real $f$ que es continua en un conjunto a $(a,b)$ y que no es diferenciable en algún subconjunto de $(a,b)$ (el subconjunto podría ser sólo un punto como en el anterior ejemplo descrito, o podría ser el conjunto total $(a,b)$, de modo que tenemos en todas partes continua pero no derivable la función). Podría ser que siempre existe alguna función $g$ (que podría depender de $f$) de la clase $C^{\infty}$ (en función de que es infinitamente veces diferenciable), que no es el cero de la función (por lo $g$ no es la función de $g(x)=0$) y que es tal que tenemos que la función de $fg$ (el producto de las funciones de $f$$g$) es diferenciable en el conjunto $(a,b)$?

Answer 1

No, no podemos. Que $f \colon (a,b) \to \mathbf R$ un continuo función en ninguna parte diferenciable. Supongamos que se da $g \in C^\infty(a,b)$ $fg$ ser diferenciable por todas partes. Vamos a mostrar $g = 0$. Que $x \in (a,b)$, entonces, como $fg$ y $g$ son diferenciables en $x$, si tenía $g(x) \ne 0$, el cociente $f = \frac{fg}g$, definida en algún barrio de $x$, también sería diferenciables en $x$ por la regla del cociente. Por lo tanto, $g(x) = 0$. Como arbitrario, $x$ $g = 0$.

Answer 2

Esto engaña un poco, pero si los puntos de nondifferentiability son aislados, podría constituir una función que se desvanece en un barrio de cada uno de esos puntos y no es idénticamente cero y por eso se multiplican.