La fórmula del binomio y el valor de 0 ^ 0

Question

He aquí el texto de Knuth el Arte de La programación de computadoras, 1.2.6 F fórmula 14:

Knuth no dan la prueba de la declaración. Así, traté de escribir yo mismo.

Para hacer la fórmula binominal igual a $0^0$, se deben satisfacer las siguientes condiciones:

$ \left\{ \begin{aligned} x = -y\\ r = 0\\ \end{aligned} \right. $

Por definición:

$ {n\elegir k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} $

Si $k < 0$ o $k > n$, el coeficiente es igual a 0 (siempre que n es un entero no negativo) - 1.2.6 B.

y si $r = 0$, tenemos:

$ {0\elegir k} $

que es distinto de cero sólo cuando k = 0:

$ {0\elegir 0} = \frac{0!}{0!(0-0)!} = \frac{1}{1} = 1 $

Por lo tanto, poner nuestras condiciones en la fórmula, obtenemos:

$ (x + (-x))^0 = {0\elegir 0} x^0(-x)^0 = 1\cdot1\cdot1 = 1 $

Por lo tanto, $0^0 = 1$

Es mi prueba correcta?

También esta página: http://mathworld.wolfram.com/Power.html dice, que $0^0$ sí no está definido, aunque la definición de $0^0=1$ permite que algunas fórmulas se expresa simplemente (Knuth 1992; Knuth 1997, pág. 57).

Pero él no es la definición de ser igual a 1, es deducir de este hecho desde el teorema del binomio. Además de Knuth no dice en la página 57 (que es siempre), ¿qué fórmulas se puede expresar simplemente. La declaración sobre Knuth en mathworld no es completamente correcto?

Answer 1

Creo que no se puede interpretar el texto como estaba previsto. Lo Knuth está diciendo es que el binomio fórmula indicada no puede ser válido , a menos que uno define el $0^0=1$. Lo dice más claramente 1992), en su artículo Dos notas en la notación (página 6, la ecuación (1.18)):

Quien quiere el teorema del binomio $$(x + y)^n =\sum_{k=0}^n\binom nk x^ky^{n−k}$$ to hold for at least one nonnegative integer $n$ must believe that $0^0 = 1$, for we can plug in $x = 0$ and $y = 1$ to get $1$ on the left and $0^0$ en la derecha.

De hecho uno, por ejemplo,$1=(0+1)^2=\binom20.0^0.1^2+\binom21.0^1.1^1+\binom22.0^2.1^0$, y el lado derecho se reduce a $0^0$ debido a que los dos últimos términos se desvanecen debido a la no-polémica evaluaciones $0^1=0^2=0$.

Así, en particular, esto no sólo supone el caso de el teorema del binomio para exponentes$~0$; el punto es que los exponentes$~0$ se producen en el en el lado derecho para cada instancia de la fórmula binominal.

Tenga en cuenta que por lo general uno no se encuentra con este caso explícitamente debido a nuestra costumbre de contraer el plazo $\binom n0x^0y^n$ $y^n$cada vez que escribimos ejemplos explícitos de la fórmula binominal. Su cita ilustra este, como Knuth escribe los términos de $x^4$ $y^4$ en su explícita instancia de la fórmula binominal para $r=4$. (También ilustra otra peculiaridad: en los ejemplos explícitos de la fórmula binominal tendemos a tomar la suma del índice de disminución de$n$$0$, o lo que equivale a lo mismo utilizar una variante de la fórmula en la que los exponentes de la $x$ $y$ son intercambiados.)

De hecho, la razón más importante por la que no estamos confrontados con las instancias de $0^0$ (y por tanto con la necesidad de tener bien definido) todo el tiempo, que no han aprendido el hábito, similar a la de la supresión de términos explícitos$~0$ en una suma o factores de$~1$ en un producto, de inmediato la sustitución de cualquier expresión de $x^0$ $~1$ (o simplemente omitirla si se producen en un producto). Considero que esto es una curiosa paradoja de la psicología humana:

El hecho de que la gente puede mantener ese $0^0$ debería ser de izquierda indefinida depende de la circunstancia de que las instancias de la expresión casi nunca se producen al hacer matemáticas. Este estado de cosas es una consecuencia de la costumbre de la sistemática supresión de la multiplicación de los factores de la forma$~x^0$ cuando la escritura de fórmulas. A pesar de ello el hecho de que la ecuación de $x^0=1$ aplica implícitamente durante esta supresión sólo puede justificarse si $x^0$ siempre se define, en particular, para $x=0$.

Answer 2

Al mejor de mi conocimiento, de la convención que se $0^0$ no está definido que sirve a un propósito, es decir, para evitar una discontinuidad de la función $x\mapsto 0^x$ $0$ (o la función de $x^y$$(0,0)$). Este valor cuando la gente (principalmente cálculo estudiantes) piensan que los límites como $\lim_{t\to a}f(t)^{g(t)}$ debe ser evaluado por el taponamiento de $a$ en lugar de$t$$f(t)^{g(t)}$. Una discontinuidad hará que este método para dar la respuesta equivocada cuando el taponamiento-in da a $0^0$. Idealmente, nuestro cálculo los estudiantes aprenden que deben determinar la continuidad antes de usar el plug-in del método. En nuestra no-mundo ideal, un buen número de ellos no aprenden, por lo que nosotros les enseñamos que $0^0$ es indefinido. De esa manera, el resultado de conectar no les dan una respuesta incorrecta; se niegan a darles una respuesta, por lo que les obligará a hacer algo mejor que conectar (por ejemplo, tomar logaritmos y tratar de L'Hospital de la regla).

Pero creo que el "indefinido" convención es útil sólo para las personas que (sin saberlo) asumir la continuidad de donde en realidad hay una discontinuidad. Para el resto de nosotros, $0^0$ debe $1$.

Nota, por cierto, que el punto de discontinuidad es en el borde del dominio de definición de $0^y$ (o $x^y$), por lo que no es particularmente sorprendente (para mí) de que algo extraño, desde el punto de vista de análisis, que sucede allí.

Answer 3

Al elegir esta forma de llegar a $0^0$ y asignar el valor de $1$ sin ninguna otra calificación declaraciones, Knuth ha hecho una definición de tipo. Así que el Mathworld artículo es correcto.

También, puedo ver su prueba como válida para el resultado. Por la elección de los mecanismos que tiene, llegó a esa particular valor de $0^0$. Esto es similar a lo que ocurre cuando los términos de un condicionalmente convergente la serie se convierte en: casi siempre es posible obtener cualquier valor deseado como el resultado. Un mejor término para esto es "indeterminado" en lugar de "no definido" como el Mathworld artículo notas.

Básicamente, por la elección de la Fórmula Binominal, según el contexto, se ha elegido el valor que $0^0$ tendrá. Esto no cambia el hecho de que $0^0$ es indeterminado cuando se considera sin contexto.

$0^0$ es realmente indeterminado en general, pero Knuth, y su prueba están diciendo $(0+x)^0 = 1$ es expresable como la $0^0 = 1$. Usted ha elegido un contexto específico, y dentro de ese contexto, $0^0$ evalúa a $1$.

Otra forma de decir esto es que el $1^0 = 1$ también puede ser expresado como "$0^0$ puede tomar el valor de $1$", pero esto no transmitir más información de la que dicen que " la${\infty \over \infty}$ puede tomar el valor de $1$".

Incluso en Ciencias de la computación, la definición de $0^0 = 1$ es peligroso ya que puede ser (leer: siempre hay) situaciones en las que esto es un resultado incorrecto. Considerar la aritmética de intervalos , como una forma de manipulación de la expresión de $0^0$ correctamente dentro de un equipo.

Considere los siguientes ejemplos: ¿cuál es el valor de $\lim_{x \to 1} (1-x)^{x-1}$? $\lim_{x \to 0} (\cos(x) - 1)^x$?

Answer 4

Yo hubiera pensado es una consecuencia de una definición previa.

Es decir, 0! = 1

Y, generalmente esta definición es tomada como una definición de comodidad más que nada tener verdadero valor matemático. ¿Por lo que habría pensado $0^0$ debe tener el mismo estado?