Sobre los números divisibles por todos los enteros que no superan su $r^{th}$ raíces.

Question

Considere el conjunto de todos los números que son divisibles por todos los números naturales que no superan su raíz cuadrada, y denote este conjunto por $S_2=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$ (Aquí el subíndice indica que estamos tomando la 2ª raíz de los números). Así, $|S_2|=8$ .

Del mismo modo, el conjunto de todos los números que son divisibles por todos los números naturales que no superan la raíz cúbica es $S_3 = \{1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,30,36,42,48,54,60,72,84,96,108,120,180,240,300,420\}$ con $|S_3|=32$ .

Ahora defina $S_r$ de forma similar como el conjunto de todos los números positivos divisibles por todos los naturales que no superan su $r^{th}$ raíces. Entonces tengo las siguientes preguntas:

Q-1 ¿Cuál es la fórmula general para encontrar $|S_r|$ (es decir, la cardinalidad de $S_r$ )?

Q-2 ¿Existe una expresión para el mayor elemento de $S_r$ ?

También se fomentará la asintótica.

Answer 1

No tengo asintótica, pero codifiqué este programa rápido

a(n)=my(s,old,cur,mult=1,k);while(mult<=2*(cur=(k+++1)^n-1)+9,mult=lcm(mult,k);s+=cur\mult-old\mult;old=cur);s

en PARI/GP y encuentra $|S_1|=2, |S_2|=8, |S_3|=32, |S_4|=149, \ldots, |S_{1000}|\approx1.8077655\cdot10^{2571}$

lo que sugiere que $|S_n|$ crece aproximadamente a un ritmo factorial.

Answer 2

Es bastante fácil de calcular si se le da la vuelta a las cosas: Divisible por 1 = cada número. Divisible por 2 = múltiplo de 2. Divisible por 1, 2, 3 = múltiplo de 6. Divisible por 1 a 4 = múltiplo de 12. Divisible entre 1 y 5 o entre 1 y 6 = múltiplo de 60, etc.

En realidad no necesitas PARI/GP, es bastante trivial: Para n a partir de 1 calculas L(n) = "LCM de los números de 1 a n". L (1) es 1 obviamente, y multiplicas el valor anterior por p si n es una potencia del primo p. El resultado no está lejos de $e^n$ .

Luego se calcula cuántos de los números $n^r <= x < (n+1)^r$ son divisibles por L (n), que es $((n+1)^r - 1) / L(n) - (n^r - 1) / L(n)$ , ambas divisiones redondeadas a la baja. $n^r$ crece sólo polinómicamente, no exponencialmente, por lo que se convertirá en cero muy pronto. (Por ejemplo, n = 41 cuando r = 10).

$n^r/e^n$ tiene su máximo aproximadamente alrededor de n = r, donde $n^r/e^n = r^r/e^r$ que no está lejos de la fórmula de Stirling para r!. Así que muy más o menos el resultado es sobre r!.