Hay enteros positivos $a,b,c$ tal que $m^a=1+n^bc$

Question

Dejemos que $m$ y $n$ son números enteros relativamente primos y $m>1,n>1$ . Demuestre que:Hay enteros positivos $a,b,c$ tal que $m^a=1+n^bc$ y $n$ y $c$ son relativamente primos

Answer 1

Desde $m$ y $n$ son relativamente primos, para cualquier $b$ tenemos $m^{\phi(n^b)} \equiv 1 \mod{n^b}$ es decir, que existe un $c$ tal que $m^{\phi(n^b)} = 1+n^bc$ .

Answer 2

EDIT: He borrado la respuesta anterior y la he sustituido por un argumento más sencillo, aunque la idea es similar.

Sabemos que $m^{\phi(n^2)}\equiv 1 \pmod{n^2}$ es decir $$m^{\phi(n^2)}=1+n^2z.$$ Si $(n,z)=1$ hemos terminado, de lo contrario utilizamos el siguiente lema.

Lema . Si $p$ es un primo y $p|n$ entonces $$(1+n^2z)^p=1+n^2(pz)c$$ con $(c,n)=1$ .

Prueba $$(1+n^2z)^p=1+\sum_{i=1}^{p-1} {p\choose i}(n^2z)^i+n^{2p}z^p=1+pn^2z(1+Cn)$$ porque $p|{p\choose i}$ para $1\leq i\leq p-1$ y $p|n$ . Finalmente $(n,1+Cn)=1$ .

Ahora, gracias al lema anterior, empezamos a "alimentar" factores primos de $n$ a $z$ hasta que podamos factorizar una potencia de $n$ y nos quedamos con $1+n^ac$ y $(c,n)=1$ .