Campos globales: ¿Cuál es exactamente la analogía entre los campos numéricos y los campos de función?

Question

Nota: Esto surge como un subproducto de la pregunta de Qiaochu "¿Cuáles son los ejemplos de buenos modelos de juguete en matemáticas?"

Parece que hay una filosofía general de que los problemas sobre campos de funciones son más fáciles de tratar que los de campos de números. ¿Puede alguien explicar esta analogía entre los campos numéricos y los campos de funciones? No estoy seguro de dónde puedo encontrar información sobre esto. ¿Anillo de enteros siendo dominios Dedekind, campo de residuos finito, RH sobre campos de funciones más fácil de tratar, algo más? Siendo bastante ignorante sobre esta analogía, en realidad ni siquiera estoy convencido de que por qué trabajar sobre campos de funciones "debería" dar ideas sobre cuestiones de campos de números.

Answer 1

Hay una tabla muy bonita en la sección 2.6 de estos notas de un seminario que Bjorn Poonen dirigió en Berkeley hace unos años.

Answer 2

En realidad, ni siquiera estoy convencido de que el hecho de trabajar sobre campos de funciones "deba" aportar conocimientos sobre cuestiones relativas a los campos de números.

Es perfectamente respetable no estar convencido de ello; la analogía tiene una larga historia de "funcionamiento", pero es bastante raro poder demostrar algo sobre campos de números demostrando el enunciado análogo sobre campos de funciones. Es más común que demuestres algo sobre campos de funciones y que la demostración te dé ideas para una demostración análoga sobre campos de números; esto es especialmente probable cuando los actores principales de tu demostración sobre campos de funciones son cosas que aparecen en la columna derecha de la tabla de Poonen (a la que se hace referencia en la respuesta de David Brown).

Y, por supuesto, hay que tener en cuenta que la analogía no es perfecta: Este trabajo de Conrad, Conrad y Helfgott es un buen ejemplo de un fenómeno de campo de funciones que no debería ocurrir sobre un campo de números.

Answer 3

Desde el punto de vista de la teoría de la valoración, ambos tipos de campos son (casi) iguales. Si comparamos Q con F _p [X], entonces el conjunto de todos los valores absolutos (de valor real) en estos campos está formado por las valoraciones p-ádicas (procedentes de los ideales primos) más una valoración adicional, el "ideal primo infinito" que en el caso de Q es el valor absoluto estándar y en el caso de F _p X] es el (negativo de) la valoración del grado. Pero aquí hay una diferencia significativa: Mientras que el primo infinito en F _p X] es también una valoración discreta, el primo infinito en Q no es discreto. Muy importante en este contexto es la fórmula del producto que dice que para un elemento fijo no nulo a de un campo global el producto del valor absoluto de a sobre todos los lugares (finitos E infinitos) es igual a 1.

Answer 4

Aquí es un interesante estudio de Buium sobre las sorprendentes analogías conc. ecuaciones diferenciales, aquí un artículo muy interesante de Esnault sobre las analogías char 0/char p y cómo aprovecharlas.

Answer 5

La afirmación "La Tierra está girando respecto a su eje" es circular, lo que define el eje es la rotación, y sin nada más en el universo por lo que observar la rotación de la tierra, ¿está la tierra realmente girando?

La suposición de un universo con sólo la tierra en él debería implicar que el espacio y el tiempo y cualquier otra cosa también están limitados a la superficie de la tierra. Ahora bien, en un universo así, la Tierra está girando respecto a qué?

Si el espacio es necesario como medio para que la tierra gire, en un universo en el que no hay nada excepto la tierra, ¿el espacio también forma parte de ese universo? ¿Qué pasa con la materia oscura, la energía oscura y cualquier otra cosa que pueda ser la causa de todos los "efectos de rotación" en un universo normal?

y según el http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_rotation no hay razón para concluir que los efectos seguirán existiendo.

Quien haya votado en contra sin comentar el porqué, ¿tiene alguna razón lógica?