¿Por qué usar un especial de regularización para $\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{i p x}$?

Question

Hay muchos mal definidas las integrales en la física. Quiero hablar de uno de ellos, que veo muy a menudo. $$\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{i p x}$$ He visto esta integral en muchos problemas físicos. Muchas personas(los físicos) parecen pensar que es un bien definida, integral, y se calcula como sigue:

Vamos a utilizar la regularización (se introduce una pequeña parámetro real $\varepsilon$ y después de que el cálculo conjunto de $\varepsilon = 0$.

$$I_0=\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{i p x}e^{ -\varepsilon x}=\frac{1}{\varepsilon-i p}=\frac{i}{p}$$

Pero yo puedo obtener un valor arbitrario para esta integral! Voy a utilizar la regularización demasiado, pero voy a usar otra parametrización:

$$I(\alpha)=\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{i p x}=\int_0^\infty dx \left(1+\alpha\frac{\varepsilon \sin px}{p}\right)e^{i p x}e^{ -\varepsilon x}$$ donde $\varepsilon$ es un parámetro de regularización y $\alpha$ es un valor arbitrario el uso de $\int_0^\infty \mathrm{d}x\,\sin{(\alpha x)} e^{ -\beta x}=\frac{\alpha}{\alpha^2+\beta^2}$

Después de una no tan difícil de cálculo puedo obtener que $I(\alpha)=\frac{i}{p}\left(1+\frac{\alpha}{2}\right)$.

Esta integral he visto a menudo en el intermedio de cálculo. Pero por lo general la gente no tome en cuenta de este problema, y sólo utilizar las $I_0$. No entiendo por qué?

Sé que sólo un ejemplo, cuando me puede explicar por qué se debe utilizar $I_0$. En la teoría de campo cuando se calcula el $U(-\infty,0)$ donde $U$ es una evolución del operador, es proporcional a $\int^0_{-\infty} \mathrm{d}t\,e^{ -iE t}$. Es necesario que el Weizsaecker-Williams aproximación en la QED, o la DGLAP ecuación en QCD, porque en la axiomática QFT nos pusimos $T\to \infty(1-i\varepsilon)$.

Mi pregunta es: ¿por Qué, en el cálculo de la integral de la $\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{i p x}$, hacer uso de la gente de a $I_0$? ¿Por qué la gente usa $e^{ -\varepsilon x}$ regularización de la función? En mi punto de vista esta regularización no es mejor y no peor que otro.

Answer 1

La primera integral no es realmente acerca de la adición de un arbitrario regulador en la forma de exponencial de amortiguación $e^{-\epsilon x}$, como podemos ver en algo como $$\sum_n n =\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \sum_n n e^{-\epsilon n}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{4 \cosh^2{\epsilon/2}}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(\frac{1}{\epsilon^2}-\frac{1}{12}+O(\epsilon^2)\right)\stackrel{magic}{\sim} -\frac{1}{12}.$$

Por el contrario, el punto es no elegir algo arbitrario que tiene el límite correcto, pero la resolución de un problema más general dejando $p \to \tilde p = p + i \epsilon \in\mathbb C $. El resultado es entonces perfectamente válido para $\text{Im}(\tilde p)=\epsilon>0$, y el límite es a menudo escrita como $$I_0 = \frac{i}{p+i 0},$$ cual es la forma que podemos ver a menudo en QFT. El "$+i0$" tiene gran importancia, como veremos un poco más adelante.

Métodos similares a lo OP hizo con $I(\alpha)$ funcionaría, si se producen constantes las respuestas. Pero, OP mostraron que aunque el $\epsilon\rightarrow 0$ límite es el mismo, la respuesta es no. Con $I_0$ sin embargo, no tenemos que introducir nada nuevo, acabamos de promover la $p$ a una variable compleja, y resolver la misma integral que originalmente tenía. Espero que esto explique por qué este particular integral "obras". No estoy diciendo que no hay muchas otras dudosa integrales en la física, aunque!

Ahora un poco de una larga digresión acerca de por qué queremos tener $i0$ términos en el denominador y por qué tiene sentido físicamente, lo que puede saltar libremente si usted está satisfecho con mi respuesta a la pregunta hasta ahora.

Vamos a usar la función de Green para resolver el oscilador armónico forzado ecuación. Sólo para recordar, si tenemos un lineal de educación a distancia (o PDE) en el formulario $$\mathcal L_x[y]=f(x).$$ Then we can try writing the solution as a convolution with the forcing: $y(x)=\int \mathrm d x'G(x,x')f(x')$, and inserting this into the differential equation we get $$f(x)=\mathcal L_x[y]=\mathcal L[\int \mathrm d x' G(x,x')f(x')]=\int \mathrm d x'\mathcal L_x[ G(x,x')]f(x'),$$ which means that $L_x[ G(x,x')] = \delta(x-x').$ In most cases $G(x,x')=G(x-x')$, y para el oscilador armónico, tenemos $$\partial_{t}^2G(t-t') + \omega_0^2 G(t-t')=\delta(t-t'),$$ que podemos resolver a través de la transformada de Fourier. Tenemos $$G(t-t')=-\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R} d\omega \frac{e^{i\omega(t-t')}}{\omega^2-\omega_0^2}.$$

Esto no convergen debido a los polos en el eje real. La solución es la adición de $+i0$ a los polacos y a cambio de ellos sobre el eje real. Ahora, cuando $t>t'$ debemos cerrar el contorno sobre el eje real, donde tenemos los 2 y los residuos de todo es grande. Pero cuando $t<t'$, para cerrar en la mitad inferior del plano, y el resultado es cero ya que el integrando es analítica de allí. Y, en general, la adición de $+i0$ restringe la función de Green para $G(t,t')\to G(t,t')\theta(t-t')$, el cual es una declaración acerca de la causalidad, y desde entonces se han $$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm d t G(t,t')\theta(t-t') f(t')=\int_{-\infty}^{t}\mathrm d t G(t,t') f(t').$$

El mismo truco se utiliza en la electrodinámica clásica para solucionar $(\nabla^2 -1/c^2 \partial_t^2)\phi = -\frac{1}{\epsilon_0}\rho$ y garantiza la causal de propagación a la velocidad de la luz. Casi todos los propagador (es decir, la función de Green) en QFT ha $\pm i0$ - a pesar de que estos términos pueden ser omitidos en la escritura, ellos están ahí. En el oscilador armónico caso, el resultado es básicamente el mismo como la adición de amortiguación para el problema original, que es físicamente mejor, ya que si tenemos $f(t)=f_0 e^{i\Omega t}$, $y(t)$ va a explotar si tenemos resonancia $\omega_0=\Omega$ - esto es exactamente lo que sucede en la integral de Fourier, donde estamos, básicamente, la integración a través de una descomposición espectral de $f(t)$, lo cual también contiene la 'resonancia'. El punto principal sobre el $i0$ es la relación de causalidad, por supuesto.