Realización de grupos como grupos de simetría

Question

Se supone que debemos pensar en los grupos (no abelianos) como grupos de simetrías de algún objeto. A veces no es obvio cuál es este objeto. Por ejemplo, el grupo fundamental de un espacio topológico actúa por simetrías sobre la cubierta universal. ¿Alguien tiene algún ejemplo de grupos (no abelianos) que no estén definidos como el grupo de simetrías de algo, sino que resulten ser el grupo de simetrías de alguna cosa no evidente?

Edición: En respuesta al comentario de Qiaochu he editado la pregunta adecuadamente.

Answer 1

Este es un ejemplo abeliano, pero: el centro $Z(G)$ de un grupo $G$ resulta tener una interpretación no obvia como el grupo de simetrías de algo. A saber, es el grupo de automorfismos naturales del functor identidad $\text{id}_G$ , pensando en $G$ como una categoría con un objeto. De forma más general, se puede definir el centro de un objeto en un $2$ -y esto reproduce algunas construcciones interesantes, por ejemplo, el segundo grupo de homotopía $\pi_2$ ver esta entrada del blog para más detalles.

Answer 2

Si $G$ es un grupo interesante con un subgrupo normal interesante $H$ y $H$ no se define como el núcleo de alguna acción de $G$ entonces $G/H$ es un grupo interesante que puede no actuar obviamente en nada. Por ejemplo, el grupo de automorfismo externo de un grupo $G$ tiene esta propiedad. Actúa sobre las clases de conjugación de $G$ así como las representaciones irreducibles de $G$ pero no necesariamente de forma fiel en ninguno de los dos casos.

El grupo de clases de mapeo $\text{MCG}(M)$ de, digamos, una variedad suave $M$ también se define de esta manera (y véase también el Teorema de Dehn-Nielsen ). No actúa sobre $M$ . Actúa, no necesariamente con fidelidad, sobre diversas invariantes asociadas a $M$ Por ejemplo, su (co)homología o las clases de homotopía no basadas en bucles.

Si $M$ es una superficie orientable compacta, el subgrupo del grupo de clases de mapeo que preserva la orientación actúa sobre el Espacio Teichmüller de $M$ . El espacio de Teichmüller es en sí mismo una variedad compleja, y si $M$ tiene un género mayor que $1$ entonces este subgrupo es precisamente el grupo de automorfismos biholomorfos del espacio de Teichmüller.

Answer 3

En primer lugar, voy a dar algunos ejemplos generales que funcionan para una gran clase de grupos (digamos grupos discretos contables).

1.) Dado un espacio de medidas digamos $([0, 1], \mu)$ el intervalo unitario con medida de Lebesgue y un grupo $\Gamma$ construye el espacio de medidas del producto $([0, 1]^\Gamma, \mu^\Gamma)$ . Entonces $\Gamma$ actúa sobre el producto desplazando los índices. Este es un ejemplo fundamental en la teoría ergódica.

2.) Del mismo modo, consideremos el producto tensorial infinito de matrices indexadas por $\Gamma$ , $\bigotimes_\Gamma M_2(\mathbb{C})$ . Entonces, como en el caso anterior $\Gamma$ puede actuar actuando sobre el conjunto de índices. Este es un ejemplo clave en las álgebras de operadores.

3.) Cualquier $\Gamma$ es un grupo fundamental de un espacio topológico, llamado $K(\Gamma, 1)$ .

Ahora más específicamente:

4.) $SL_2(\mathbb{R})$ se define como $2\times 2$ matrices sobre los reales con determinante 1. Así que, por definición, actúa sobre $\mathbb{R}^2$ . La acción más interesante, que no es obvia por la definición, es que actúa por isometrías conformes en el plano hiperbólico. (De hecho, esta podría ser LA acción más estudiada de un grupo en todas las matemáticas)

5.) El grupo de automorfismo exterior de un grupo libre $Out(\mathbb{F}_n)=Aut(\mathbb{F}_n)/Inn(\mathbb{F}_n)$ se define como un cociente por lo que no tiene una acción obvia. Sin embargo, actúa sobre un complejo celular llamado Espacio Exterior.