Demostrar que $\overline{f(A)}\subseteq f(\overline{A})$ donde $f: X \rightarrow Y$ es continua, $X$ es compacto y $A \subseteq X$

Question

Supongamos que $X$ $Y$ son espacios topológicos, $f: X \rightarrow Y$ es un mapa continuo y $A \subseteq X$. No es muy difícil demostrar que $f(\overline{A})\subseteq \overline{f(A)}$ donde $\overline{A}$ denota el cierre de $A$.

Supongamos ahora que $X$ es compacto. Estoy tratando de demostrar que la inclusión $\overline{f(A)}\subseteq f(\overline{A})$.

Sabemos que $\overline{A}$ es compacto, por lo $f(\overline{A})$ es compacto. Si $Y$ fueron un espacio de Hausdorff, $f(\overline{A})$ estaría cerca y $\overline{f(\overline{A})}=f(\overline{A})$, lo $\overline{f(A)}\subseteq \overline{f(\overline{A})}=f(\overline{A})$, según se requiera.

Sin embargo, no tengo la hipótesis de que la $Y$ es Hausdorff, entonces, estoy luchando, ya sea tratando de demostrar que la inclusión o para encontrar un contraejemplo.

Gracias

Answer 1

La demanda puede ser hecho falsas sin la suposición de que $Y$ es de Hausdorff. Para ver esto, vamos a $Y\equiv\{1,2\}$ ser dotado de la topología indiscreta (es decir, la única abierta conjuntos son el conjunto vacío y el conjunto). Deje $X\equiv\{1,2\}$ ser dotado de la topología discreta (todos los subconjuntos abiertos) y $f(1)\equiv 1$$f(2)\equiv 2$. Claramente, $f$ es continua. Pero si $A\equiv\{1\}$ (un conjunto finito es compacto en cualquier espacio topológico), entonces $$\overline{f(A)}=\overline{\{1\}}=\{1,2\},$$ yet $$f(\overline{A})=f(\{1\})=\{1\}.$$

Answer 2

Esto es falso en general si $Y $ no es Hausdorff.

Tomar cualquier mapa de $f : X \to X $, donde a la izquierda, $X$ tiene la topología discreta y a la derecha la topología indiscreta (sólo$\emptyset $$X$) están abiertos, donde $X $ es cualquier conjunto finito.

Por último, vamos a $A=\{x\} $. No es difícil ver que este es un contraejemplo (si $X $ tiene más de un elemento).