$f(x)^2 ≥ f(x + y)(f(x) + y)$ no $f$?

Question

Demostrar que no existe ninguna función $f : \mathbb{R}^+ → \mathbb{R}^+$ tal que $$f(x)^2 ≥ f(x + y)(f(x) + y)$$ for all $x, y > 0$.

No puedo pensar en una manera de solucionar esto.

Answer 1

Re-escribir la desigualdad de a poco y se obtiene

$$ 1 \geq \frac{f(x+y)}{f(x)} \left( 1 + \frac{y}{f(x)}\right) > \frac{f(x+y)}{f(x)} $$ para cualquier $x,y,f(x), f(x+y) > 0$, lo que implica que $f(x)$ debe ser estrictamente decreciente.

Además, al tomar $y$ suficientemente grande podemos encontrar algunos de $x_0 = x + y$ tal que $f(x_0) \leq 1$.

Inicio a partir de ese $x_0$. Considere la posibilidad de $y \geq f(x_0)$, tenemos que $$ 1 \geq \frac{f(x_0 + y)}{f(x_0)} (1 + 1) \implies \frac{f(x_0 + y)}{f(x_0)} \leq \frac12 $$

Por lo tanto, tenemos que $$ f(x_0+1) \leq \frac12 $$

Ejecutando el mismo argumento que usted consigue de nuevo

$$ f(x_0 + 1 + \frac12) \leq \frac14$$

y la iteración se obtiene que para cada $k > 0$ consigue

$$ f(x_0+2) < f(x_0 + \sum_0^k 2^{-n}) \leq \frac{1}{2^k} $$

lo que da una contradicción.