propiedad sobre el espacio topológico

Question

Tengo una pregunta.

Dejemos que $f,g$ sean funciones continuas de $X$ a $Y$ , $X$ es un espacio topológico y $Y$ un espacio topológico bajo topología ordenada. Entonces demuestre que el conjunto $\{x \in X \ | \ f(x) < g(x)\}$ está abierto. Quiero saber qué propiedad intrínseca del orden lo hace posible.

Answer 1

Mira el mapa $(f,g)\colon X\to Y\times Y$ . Este mapa es continuo porque $f$ y $g$ son.

Su conjunto $\{x \in X \mid f(x) < g(x)\}$ es la preimagen bajo $(f,g)$ del conjunto $\{(a,b) \in Y\times Y \mid a < b\}$ .

Ahora, lo único que queda por demostrar es que $\{(a,b) \in Y\times Y \mid a < b\}\subseteq Y\times Y$ está abierto.

Esto se desprende de la definición del Ordenar la topología en $Y$ . ¿Necesitas ayuda con eso?

Answer 2

Hey, encontré esto en algún lugar de la red. Ver problema 5 en el enlace dado:

http://www.math.uiowa.edu/~jsimon/COURSES/M132Fall07/M132Fall07_Exam1_Solutions.pdf