Ciertas Sumas de Clase Conjugacy Tamaños de Grupos Simétricos

Question

Supongamos $n$ es un número natural y $\lambda$ es una desordenada entero partición de $n$ tal que $\lambda$ $a_{\lambda,j}$ partes de tamaño $j$ por cada $j$... Vamos a $c_\lambda$ ser la clase conjugacy en el grupo simétrico de grado $n$ comprende los elementos cuyo tipo de ciclo es $\lambda$... Entonces: $$ \! |c_\lambda| = \frac{n!}{\prod_j (j)^{a_{\lambda,j}}(a_{\lambda,j}!)} $$ (ver aquí para más información: Conjugacy el tamaño de la clase fórmula en grupo simétrico)

Deje $\Lambda$ ser el conjunto de todas las particiones $\lambda$$M\subset\Lambda $. Para $n\ge5$ parece ser que hay más de una solución, $M$ por el siguiente: $$ \sum_{\mu\M} |c_\mu|=\frac{n!}2 \etiqueta{1} $$

• Hay al menos una solución, ya que la división en impar y aún permutaciones divide el conjunto de todas las permutaciones correctamente.

• Para $n=5$ el par/impar dividir parece $$ \begin{eqnarray} |c_{(1,1,1,1,1)}|+|c_{(3,1,1)}|+|c_{(2,2,1)}|+|c_{(5)}|&=&1+20+15+24\\ |c_{(2,1,1,1)}|+|c_{(4,1)}|+|c_{(3,2)}|&=&10+30+20, \end{eqnarray} $$ but there are at least $3$ más soluciones:

  1. Desde $|c_{3,2}|=\frac{5!}{(3^1\cdot 1!)(2^1\cdot 1!)}=|c_{3,1,1}|=\frac{5!}{(3^1\cdot 1!)(1^2\dot 2!)}$ usted puede intercambiar el extraño clase conjugacy de la partición $3+2$ con el que incluso uno para la partición de $3+1+1$.

  2. y 3. $|c_{(1,1,1,1,1)}|+|c_{(2,2,1)}|+|c_{(5)}|=1+15+24=40$, por lo que podemos agregar de nuevo $|c_{(3,2)}|$ o $|c_{(3,1,1)}|$

Mi pregunta:

Es posible dar un asintótica? ¿Cuántas soluciones $M$ existen para $(1)$ en general?

Answer 1

Ok, era más fácil de lo que pensaba encontrar una manera concisa para calcular el número de soluciones:

Tenemos que calcular $$ \prod_{\lambda\en\Lambda} \left(1+x^{|c_\lambda|}\right) $$

y, a continuación, encontrar el coeficiente de $\displaystyle x^\frac{n!}{2}$. Algunos resultados:

• $n=5$ (compatible con W|A):

$$(1+x)(1+x^{10})(1+x^{20})^2 (1+x^{15})(1+x^{30})(1+x^{24})=x^{120}+x^{119}+x^{110}+x^{109}+x^{105}+x^{104}+2 x^{100}+2 x^{99}+x^{96}+2 x^{95}+x^{94}+3 x^{90}+3 x^{89}+x^{86}+3 x^{85}+2 x^{84}+x^{81}+3 x^{80}+2 x^{79}+2 x^{76}+5 x^{75}+3 x^{74}+x^{71}+4 x^{70}+3 x^{69}+3 x^{66}+5 x^{65}+2 x^{64}+2 x^{61}+\color{red}{4 x^{60}}+2 x^{59}+2 x^{56}+5 x^{55}+3 x^{54}+3 x^{51}+4 x^{50}+x^{49}+3 x^{46}+5 x^{45}+2 x^{44}+2 x^{41}+3 x^{40}+x^{39}+2 x^{36}+3 x^{35}+x^{34}+3 x^{31}+3 x^{30}+x^{26}+2 x^{25}+x^{24}+2 x^{21}+2 x^{20}+x^{16}+x^{15}+x^{11}+x^{10}+x+1$$

• $n=6$: $$ (1+x^{1})(1+x^{15})(1+x^{40})^2(1+x^{90})^2(1+x^{45})(1+x^{144})(1+x^{120})^2(1+x^{15})\\=\dots+ \color{red}{12 x^{360}}+\dots $$

• $n=7$: $(1+x) \dots (1+x^{840}) = \dots+ \color{red}{58 x^{2520}}+\dots$

• $n=8$: $(1+x) \dots (1+x^{5760}) = \dots+ \color{red}{1016 x^{20160}}+\dots$

Para un resumen de este, se obtiene: $0,2,2,2,4,12,58,1016$ (gracias a Jack) para los primeros ocho grupos simétricos. La pregunta acerca de la asymptotics sigue abierto...