¿cuáles son la muestra de los espacios cuando se habla de variables aleatorias continuas

Question

Sé que esto es muy básico. Pero muy extraño demasiado y a menudo olvidada por los alumnos como para mí.

Cuando se habla de variables aleatorias continuas con una determinada distribución de probabilidad, ¿cuáles son los subyacentes de la muestra espacios?

Segundo Q: ¿por qué estos espacios se omiten a menudo los tiempos, y uno simplemente dice r.v. $X$ sigue una distribución uniforme en el intervalo $[0,1]$? No es la muestra de la muestra espacio críticamente importante? Muchas gracias!

Answer 1

Se puede llevar a ser un subconjunto de a $\mathbb{R}$ o, más generalmente, $\mathbb{R}^n$. Una variable aleatoria uniformemente distribuida en $[0, 1]$ puede considerarse como una variable aleatoria en el espacio muestral $[0, 1]$ con función de densidad de probabilidad $1$.

El espacio muestral es, de hecho, no es críticamente importante. (Usted puede encontrar conveniente elegir uno para hacer los cálculos, pero no importa lo que uno puede escoger. Esto es análogo a la elección de coordenadas para hacer los cálculos de álgebra lineal.) Este punto se explica muy claramente en Terence Tao notas aquí:

En un nivel puramente formal, que podríamos llamar la teoría de la probabilidad el estudio de la medida de los espacios con el total de la medida de uno, pero eso sería como llamar a la teoría de números, el estudio de las cadenas de dígitos que terminar. En un nivel práctico, la verdad es lo opuesto [énfasis añadido]: así como el número de teóricos del estudio de conceptos (por ejemplo, primalidad) que tienen el mismo significado que en cada sistema de numeración que los modelos de los números naturales, podemos ver que la probabilidad teóricos del estudio de conceptos (por ejemplo, la independencia) que tienen el mismo significado en cada medir el espacio que los modelos de una familia de eventos o variables aleatorias. Y de hecho, así como los números naturales pueden definirse en abstracto, sin referencia a cualquier sistema de numeración (por ejemplo, por los axiomas de Peano), conceptos fundamentales de la teoría de la probabilidad, tales como variables aleatorias, también se pueden definir de manera abstracta, sin mención explícita de una medida de espacio; volveremos a este punto cuando hablamos de libre probabilidad más adelante en este curso.

Terence Tao de la explicación de libre probabilidad es de aquí. (Me pareció muy esclarecedor; el marco Tao describe puede ser utilizado para describir la probabilidad cuántica con muy pocas modificaciones, a diferencia de la teoría de la medida del marco.)

Answer 2

Mientras que ciertamente no puedo hacerlo mejor que Tao (y admitir que no he leído Qiaochu de enlaces) me gustaría hacer el siguiente punto:

Veo la razón para que, esencialmente, la restricción de a $(\Omega,\Sigma, \mu) = [0,1]$ bastante técnico. Si uno desea tener secuencias de yo.yo.d. variables aleatorias, uno debe ser capaz de formar el espacio del producto $(\Omega,\mu)^{\mathbb{N}}$ - necesitas algún tipo de prueba de Kolmogorov del teorema de consistencia. Si usted permite que demasiado desagradable $\Omega$'s productos espacios pueden ser muy degenerada. Hay ejemplos en Halmos o Neveu libros donde se demuestra que una contables producto se puede llevar a la trivial medida, incluso si los factores que en sí mismos están lejos de ser trivial. El punto es que $\Omega$ podría simplemente ser "demasiado grandes" para ser razonable.

Muy flexible y técnicamente útil de la clase de "razonable" medibles espacios es la clase de estándar de Borel espacios (para que la prueba de Kolmogorov del teorema de consistencia se mantiene, por suerte). Por definición, estos son los espacios medibles que son (mensurable) isomorfo a la Borel $\sigma$-algebra de un completo y separable espacio métrico. Y he aquí la sorpresa (Hausdorff, von Neumann):

Cada innumerables estándar de espacio de Borel es isomorfo a $[0,1]$ con el Borel $\sigma$-álgebra. Por otra parte, cada no-atómica medida de probabilidad en un espacio de Borel es equivalente a la de Lebesgue-medida en $[0,1]$.

Así que desde este punto de vista no hay prácticamente ninguna restricción en el supuesto de $\Omega$ $[0,1]$ a empezar. Por supuesto, los átomos no son realmente un problema. Desde que lidiar con una probabilidad del espacio, existen en la mayoría de los countably muchos de ellos, tan sólo tendremos que conseguir una unión de un intervalo y algunas contables conjunto.

Answer 3

Comenzar con una probabilidad del espacio $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ($\mathcal{F}$ se llama $\sigma$-álgebra en $\Omega$, $P$ se llama probabilidad de medida). La colección de todos los conjuntos de Borel de $\mathbb{R}$ se denota por a $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Un mapeo $X:\Omega \to \mathbb{R}$ es un (valor real) de la variable aleatoria si es $\mathcal{F}$medible, es decir, $\{ \omega \in \Omega: X(\omega) \in B \}$ $\mathcal{F}$ por cada $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Escribir $P[\{ \omega \in \Omega: X(\omega) \in B \}]$$P[X \in B]$. Como una asignación de $B$, esta es una medida de probabilidad en $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, que puede ser denotado como $P_X$ y llamó a la distribución de $X$.

Ahora, para decir que una variable aleatoria $X$ $(\Omega,\mathcal{F},P)$ sigue una distribución uniforme en el intervalo de $[0,1]$ simplemente significa que $P_X$ es la medida en $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ satisfacción $P_X (\mathbb{R}-[0,1]) = 0$ y $P_X (I) = b-a$ para cualquier intervalo de $I \subset [0,1]$ con extremos de $a<b$. Para el ejemplo más sencillo, tomar la probabilidad de espacio $(\Omega,\mathcal{F},P) = ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),P)$ donde $P$ es la restricción a $[0,1]$ de la medida sólo se define anteriormente, y definir $X:\Omega \to \mathbb{R}$$X(\omega) = \omega$. Entonces, para cualquier $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, $$P_X (B) = P[X \in B] = P[\{ \omega \in [0,1]:X(\omega ) \in B\} ] = P[[0,1] \cap B],$$ de donde se desprende que el $X$ es uniforme en $[0,1]$. (Tenga en cuenta que no es esencial que $\Omega$ el conjunto $[0,1]$.)