Hay una bastante extensa bibliografía que detalla los usos de la determinación en una variedad de situaciones. Un buen lugar para comenzar es Akihiro Kanamori es El más infinito. La última parte del libro está dedicada a la determinación. Finalmente, Aki se concentra en la cuestión de la consistencia de la determinación de los grandes cardenales, pero antes de llegar allí, nos proporciona muchos ejemplos del tipo que usted está pidiendo. Una vez pasado Kanamori del libro, puede que desee ver en la Cábala Volúmenes, probablemente el reediciones en lugar de la serie original (habrá 4 reedición volúmenes en total, tres son publicados o en prensa hasta el momento, pero todos los volúmenes se han escrito). También hay Hugh Woodin del libro, y muchos artículos en revistas y actas de congresos.
Algunos ejemplos: Determinación implica la regularidad de las propiedades de los conjuntos de reales. Para cada una de estas propiedades (Lebesgue medición, el conjunto perfecto de propiedad, la propiedad de Baire), el argumento es bastante una apelación directa a la determinación: Desde los tiempos de los Escoceses libro, los juegos han sido identificados que de una manera directa aislar las características clave de la regularidad de la propiedad objeto de la investigación. Determinación nos da un ganador, y esto se traduce en una dicotomía (dos casos, según que jugador ganado), a partir de la cual podemos concluir que la regularidad de la propiedad. Por ejemplo, dado un conjunto $A\subseteq\mathbb 2^{\mathbb N}$, el conjunto perfecto juego para $A$, debido a Morton Davis, tiene la característica de que si el primer jugador tiene una estrategia ganadora, a continuación, $A$ contiene un subconjunto perfecto, mientras que si es el segundo jugador que tiene una estrategia ganadora, a continuación, $A$ es contable.
Hay una mayor regularidad de la propiedad, que es una notoria excepción, a saber, el de la propiedad de Ramsey, estudiado por Adrian Mathias (usted puede encontrar su tesis aquí). No tenemos un juego directo de la teoría de la argumentación aquí. El Ramsey propiedad de los conjuntos de reales puede ser establecida a partir de $\mathsf{AD}^+$, un fortalecimiento de la determinación consideró por primera vez Woodin (lo que uso es que los conjuntos de reales se $\infty$-Borel. Esto nos permite implementar Solovay el argumento de su papel en Lebesgue de la mensurabilidad en $L(\mathbb R)^{\mathrm{Col}(\omega,<\kappa)}$ si $\kappa$ es inaccesible). Si podemos probar el de Ramsey, propiedad para conjuntos de reales directamente de la determinación está todavía abierto.
Una de las áreas donde determinación ha tenido más éxito es en el estudio de las propiedades de escala de los conjuntos de reales. Muchos papeles en la primera de las (reeditado) de la Cábala, los volúmenes están dedicados a las escalas. La definición de una escala es un poco técnico, pero lo que importa es que actúan como sustitutos, lo que nos da una forma de eludir la falta de elección en el universo. Ellos han demostrado ser esenciales para llevar a cabo el modelo de núcleo de inducciones, la herramienta que se usa para extraer gran cardenal de la fuerza de propiedades combinatorias. Esta es quizás la clave de la moderna aplicación de la determinación: a partir De la determinación, podemos concluir que hay Woodin cardenales en ciertos interior de los modelos (el Koellner-Woodin capítulo del Manual de la teoría de conjuntos está dedicado a este tema). El modelo básico de la inducción procede mostrando que la combinatoria de la propiedad que estamos estudiando nos da la suficiente determinación ("local") para llevar a cabo esta conclusión. Las escalas se utilizan para mejorar el monto de la determinación que tenemos (si sabemos que todos los conjuntos de reales en ciertos pointclass están determinados, y sabemos que esta pointclass, o relacionados con, tienen la propiedad de escala, se puede maniobrar esta a la conclusión de que todos los conjuntos de reales en un mayor pointclass se determinan). Más determinación nos da más grandes cardenales. Todo esto significa que la determinación es esencial para este estudio de cotas inferiores a la consistencia de la fuerza. Para muchas propiedades combinatorias, no sabemos cómo derivar una gran cardenal de la fuerza sin el desvío a través de la determinación. Descriptivo interior del modelo de la teoría es el resultado de esta realización (ese último enlace es a una .archivo ps), y el pasaje a través de la determinación no es considerado un desvío, sino un paso natural en este proceso.
Otra área de investigación que hace uso de la determinación es el tema de Woodin del libro vinculado anteriormente: Suponiendo que la determinación, Woodin identificado una familia de obligar a los conceptos ($\mathbb P_{max}$ siendo la más conocida). Obligando con estos posets nos da la espalda modelos de elección, con más de combinatoria estructura que típicamente no sabemos cómo la fuerza por parte de los medios tradicionales. Woodin el libro tiene muchos ejemplos de aplicaciones de esta técnica. Para una colección diferente de los ejemplos, a los que he contribuido a mí mismo, ver aquí. Permítanme subrayar que la determinación es esencial en el estudio de estos posets. Una buena exposición de la técnica y de la relevancia de la determinación, además de Woodin de la monografía, es Pablo Larson capítulo en el Manual de la teoría de conjuntos.
Permítanme cerrar con un par de varios ejemplos. Uno que me gusta mucho es el estudio de la partición de cálculo. La relevancia de la partición de las relaciones en la determinación fue identificado muy temprano, a través de la obra de Martin y Kunen. Un moderno extensión de algunos de estos resultados está aquí. Determinación, aparentemente, a una propiedad de los conjuntos de reales, se utiliza para establecer propiedades combinatorias de las grandes familias de (ordenada) de los cardenales. El papel vinculados a los centros en la Jónsson propiedad; medición de regular los cardenales es otro ejemplo.
Finalmente, en la articulación de trabajo con Richard Ketchersid, he establecido una tricotomía teorema de innumerables establece en virtud de la determinación. Hemos demostrado que, en modelos naturales de la determinación, cualquier innumerables conjunto (y no sólo un conjunto de reales, o un conjunto de conjuntos de reales) es bien disponible, o bien contiene una copia de $\mathbb R$. Si es esto último, entonces el conjunto es linealmente disponible, o bien contiene una copia de $\mathbb R/E_0$, el cociente de $\mathbb R$ por la Vitali relación de equivalencia (este conjunto no es lineal, disponible en la presencia de la determinación. El argumento para esto se remonta a Sierpiński). Hemos extensión de estos resultados a los bien conocidos descriptivo conjunto teórico de dicotomías.
Los últimos ejemplos que hacen uso de $\mathsf{AD}^+$. Mi papel con Ketchersid también debe servir como una introducción a esta teoría.
