Supongamos $E$ $F$ se dan los espacios de Banach. Deje $A$ ser un continuo surjective mapa. ¿Por qué hay una pequeña pelota alrededor de $A$ en el operador de la topología, de tal manera que todos los elementos de este balón se surjective?
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Matthew Scouten
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Un delimitada lineal operador $A: E \to F$ donde $E$ $F$ son espacios de Banach, es surjective si y sólo si no es $c > 0$ tal que para todos los $\phi \in F^*$, $\|A^* \phi\| \ge c \|\phi\|$ (ver, por ejemplo, Rudin, "Análisis Funcional", Teorema 4.15). Ahora si $A$ es un operador, por lo que es$B$$\|A-B\| < c$, desde $$\|B^* \phi\| \ge \|A^* \phi\| - \|A^* - B^*\| \|\phi\| \ge (c - \|A-B\|) \|\phi\|$$
Desde esta pregunta me molestó bastante, me decidí a escribir la prueba (no tengo acceso a Lang libro, así que espero que mi argumento no es mucho más complicada de lo necesario). La idea es la misma que en la prueba de la Banach-Schauder teorema.
Por la asignación abierta teorema podemos escala de la norma en $E$ de tal manera que $A$ mapas de la unidad de la bola de $E$ sobre la unidad de la bola de $F$$B_{\leq 1} F \subset A(B_{\leq 1}E)$. Desde $A$ es lineal, tenemos $B_{\leq r} F \subset A(B_{\leq r}F)$ todos los $r > 0$.
La reclamación. Si $B: E \to F$ es tal que $\alpha := \|A - B\| < 1$ $B$ es sobre.
Prueba. Deje $f \in F$. Queremos demostrar que no es $e$ tal que $f = Be$. Para su comodidad, ponemos a $f_{0} = f$ y asumen $\|f_{0}\| \leq 1$.
Elija $e_{0}$ $\|e_{0}\| \leq 1$ tal que $Ae_{0} = f_{0}$. Definir $f_{1} = f_{0} - Be_{0}$ y observe $\|f_{1}\| = \|(A - B) e_{0}\| \leq \alpha$, por lo que podemos optar $e_{1}$ $\|e_{1}\| \leq \alpha$ tal que $Ae_{1} = f_{1}$. Ahora $f_{2} = f_{1} - Be_1$ norma $\|f_{2}\| = \|(A - B)e_{1}\| \leq \alpha^{2}$, por lo que obtenemos por la inducción de dos secuencias de $\{f_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ $\{e_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ tener las siguientes propiedades:
- $\|e_{n}\|, \|f_{n}\| \leq \alpha^{n}$ todos los $n$.
- $e_{n}$ es tal que $f_{n} = A(e_{n})$,
- $f_{n+1} = f_{n} - B(e_{n}) = (A-B)(e_{n})$.
Finalmente, $e = \sum_{n = 0}^{\infty} e_{n}$ norma $\|e\| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \alpha^{n} = \frac{1}{1-\alpha}$ y, además, \[ B(e) = \sum_{n=0}^{\infty} B(e_{n}) = \sum_{n=0}^{\infty} (f_{n} - f_{n+1}) = f_{0} = f, \] como queríamos demostrar.
