Extraña pregunta acerca de la recíproca

Question

Probablemente esto parece realmente una pregunta estúpida. Yo no soy experto en matemáticas; estoy en un Álgebra II clase de la escuela secundaria. Aquí va:

además, puede ser intercambiada tal que

a + b = c
b + a = c

pero, ¿por qué no de la resta?

a - b = c
b - a does not equal c

No entiendo muy bien esto y con la división y la multiplicación pensé que:

a*b/c = d

and a*(b/c) = d

Siempre me han dicho la división y la resta son intercambiables en la escuela. Yo miraba a este problema y se dio cuenta de que He sido engañado:

6/3*2 = 4
6/(3*2) = 1

Estoy tan confundido. Puede alguien aclarar todo este orden de operaciones mumbo jumbo para mí. Me gustaría saber exactamente lo que la división y la multiplicación son y lo aritmética de las obras en relación el uno con el otro. Estoy en Álgebra II y no puedo creer que yo no entiendo.

Answer 1

Usted puede notar que resta puede ser visto como un caso especial de la suma, es decir, $$a-b=a+(-b)$$ Así, por la propiedad conmutativa de la ley, $$a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a$$ Ciertamente no $b-a$.

Del mismo modo, la división es como un caso especial de la multiplicación, es decir, $$\frac{a}{b}=a\cdot(\frac{1}{b})$$ Donde $\frac{1}{b}$ significa que el elemento inverso de a $b$ con respecto a la multiplicación.

Por lo tanto, $$\frac{a}{b}\cdot{c}=a\cdot\frac{1}{b}\cdot{c}$$ Sin embargo, $$\frac{a}{b\cdot{c}}=a\cdot\frac{1}{b\cdot{c}}=a\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}$$ Y ciertamente no son iguales.

Editado: Puesto que usted está motivado para seguir avanzado de matemáticas, tengo un poco de idea para compartir.

Supongo que usted ha comprendido intuitivamente la aritmética sobre la naturaleza de los números. Se basa en esta idea simple: el uno-a-uno la correspondencia entre (resumen) la naturaleza de los números y de (hormigón) las cosas. Entonces usted fáciles de encontrar que:

$(+, 1)$ La ley conmutativa de la suma $$a+b=b+a$$

$(+, 2)$ La ley asociativa de la suma $$a+(b+c)=(a+b)+c$$

$(\times, 1)$ La ley conmutativa de la multiplicación $$a\cdot{b}=b\cdot{a}$$

$(\times, 2)$ La ley asociativa de la multiplicación $$a\cdot(b\cdot{c})=(a\cdot{b})\cdot{c}$$

$(\times, 3)$ El elemento de identidad de la multiplicación, es decir, $1$ $$a \cdot 1=1 \cdot a=a$$

$(+, \times)$ la ley de distribución de la multiplicación con la suma $$a \cdot (b+c)=a\cdot {b}+a \cdot {c}$$

Un posible enfoque intuitivo ha sido demostrado por Paul Sinclair. Y también he notado que la adición y la multiplicación puede ser definido como recursiva de la operación. Es decir, $$a+b:=a+\underbrace{1+1+1+...+1}_{b \text(terms)}$$ Y $$a\cdot{b}:=\underbrace{a\cdot{a}...\cdot{a}}_{b \text(terms)}$$

Usted también tiene una naturaleza idea de introducir la operación inversa, es decir, la sustitución y la división. Pero usted puede encontrar que $3-5$ es ilegal en esta etapa (no tiene una definición), y tampoco es $\frac{3}{5}$.

Pero eso no es difícil para usted, acabo de dar cuenta que se puede definir $\frac{3}{5}$ como una relación: No puede ser ciertamente una cosa $k$ tal que $k\cdot{5}=3$, entonces podemos denotar $k$$\frac{3}{5}$. Aquí vienen los números racionales! Y usted sólo puede encontrar

$(\times, 4)$ El elemento inverso de la multiplicación $$\text{For every number $$ there is a number $b$ such that $a\cdot{b}=b\cdot{a}$}$$

Y podemos encontrar fácilmente que, por definición, $b=\frac{1}{a}$. (el "número" se entiende aquí por la naturaleza, número y número racional positivo.)

Sin embargo, usted no está satisfecho. A veces es necesario encontrar una forma de denominar la "nada", por lo que necesita

$(+, 3)$ El elemento de identidad de la suma, es decir, $0$ $$\text{For all $$, $+0=0+a=a$}$$

Como que a mí respecta, históricamente, en una relación de largo tiempo, $0$ o similar anotaciones fueron inicialmente pero para este tipo de comodidad.

Una idea similar para la comodidad es un número negativo, originalmente fue utilizado para expresar la deuda. Con la introducción de los números negativos, podemos deducir:

$(+, 4)$ El elemento inverso de la suma $$\text{For every number $$ there is a number $b$ such that $a+b=b+a=0$}$$

Y también podemos encontrar fácilmente que, por definición, $b=-a$.

De hecho, llevó a la gente un montón de tiempo para aceptar el aspecto filosófico de "la nada", o para entender cómo la deuda veces la deuda será de ingresos (esto no era filosófica confusión al principio, pero una mala metáfora; sin embargo, finalmente se convirtió en uno, pero eso es otra historia.)

Pero para que las matemáticas, la más horrible es la división por 0, ciertamente, no es legal. No hay ayuda para ti, así que tenemos a la prohibición. De hecho, esta es la única diferencia entre la adición y la multiplicación en sentido abstracto. Si usted considerar acerca de un caso más general, tales como los números reales, la original, recursiva idea no se pudo, o, al menos, no más intuitiva. Por lo tanto, se debe definir la suma y la multiplicación en un más modo abstracto, es decir, la introducción de los axiomas de la adición y la multiplicación, es decir, $(+,1)-(+,4),(\times,1)-{(\times,4)},(+,\times)$ he mencionado antes. Si se comparan $(+,1)-(+,4)$$(\times,1)-(\times,4)$, usted encontrará que son casi de la misma.

Un conjunto equipado con dos operación de la satisfacción de los axiomas será el campo que trb456 mencionado. (Para decirlo claramente, el resultado de esas operaciones deben siempre dentro de ese conjunto, y el elemento de identidad de la suma no puede ser el mismo que el de la multiplicación.) Necesitamos este término por otra razón: porque hay un montón de otras estructuras de la satisfacción de esta definición. Y moderna álgebra, aunque estoy totalmente familiarizado con él, sin embargo, parece como un estudio de las estructuras matemáticas.

Esta historia no es, obviamente, la verdadera historia de los números y su aritmética, y sólo quiero introducir un medio intuitivo enfoque para comprender esas cosas. He omitido muchos detalles, o tal vez solo tengo cosas mal. Pero espero que la disfruten.

Answer 2

Yo puedo creer que no lo entiendo, aunque está en Álgebra II. El problema no está en usted, pero es una debilidad del sistema educativo. La mayoría de las personas, incluyendo a la mayoría de sus maestros, ver las matemáticas como poco más que una colección de técnicas de resolución de problemas que deben ser memorizados. Sólo un par de realmente tratar de entender. Y lo que sus maestros no entienden a sí mismos, no pueden explicar adecuadamente.

Una manera sencilla de ver intuitivamente que la adición y la multiplicación debe ser conmutativa, asociativa, y que la multiplicación distribuye sobre la suma es contando. Si usted tiene un conjunto de $n$ objetos y un conjunto de $m$ objetos, que no tienen nada en común, entonces, si se combinan, se tiene un conjunto de $n + m$ objetos. Esta es la forma en addtion está definida para los números naturales. Qué importa que la colección de volcar en el combinado de la pila de primera? No. Así que no importa el orden de adición se realiza en. Si añadimos una tercera colección de $k$ objetos, consigue $(n + m) + k$, pero de nuevo, no importa en qué orden se ha combinado, por lo que este es el mismo que $n + (m + k)$, la asociatividad.

Del mismo modo, la multiplicación es una suma repetida del mismo tamaño. Si usted tiene $n$ juegos de $m$ objetos, usted puede organizar los objetos en $n$ filas de $m$ objetos:$$\begin{matrix} x & x & ... & x \\ x & x & ... & x \\& ...\\x & x & ... & x \end{de la matriz}$$ The total count is $n \times m$. But note that rotating the array by 90 degrees leaves you with $m$ rows of $n$ objects each. I.e., $n \times m = m \times n$. If you have $k$ such sets of $n \times m$ objects, you can arrange them in $k$ layers, but again, which is a row, a column, or a layer, depends only on how you look at the array, not on the number of objects in it: $(n \times m) \times k = n \times (m \times k)$. And if in the $n \times m$ array, we divide up each row into the first $$ and last $b$ objectsm then by the definition of addition we have that $a + b = m$, and further, we have divided the entire array into an $n \times$ array and a $n \times b$ array, so $n \times (a + b) = n \times a + n \times b$, la distributividad.

Pero con la resta, no tenemos estas bonitas imágenes para mostrar commutivity, asociatividad, o la distributividad. (Hay maneras de imaginarlos, pero ellos no nos dan las propiedades de las imágenes para la suma o la multiplicación.) Por lo que estas propiedades son generalmente obtenidos a partir de la relación inversa: $n - m = n + (-m)$$ \frac{n}{m} = n \times m^{-1}$.

Answer 3

Tal vez la pregunta que usted debe preguntarse es: ¿por Qué esperar que usted puede intercambiar? No es que la resta es especial en el sentido de que no puede intercambiar los términos, sino que además es especial en que se puede!

Si me dará $a$ dólares y luego le doy a $b$ dólares, usted tiene la misma cantidad de dinero como si por primera vez me dará $b$ dólares y, a continuación, $a$ de dólares, es decir, $a+b$ dólares.

Si me dará $a$ dólares y, a continuación, tome $b$ dólares de distancia de usted, es claro que no es lo mismo que si yo te doy el $b$ dólares y, a continuación, tome $a$ dólares lejos de ti (a menos que $a=b$, por supuesto). En el primer caso, su dinero ha cambiado por $a-b$ de dólares, en el segundo caso se ha cambiado por $b-a$ dólares.

Answer 4

Bien. Nos podría decir que la resta es intercambiable (conmutativa), pero lo que usted necesita es darse cuenta de que el signo antes de cada número es parte de la serie. Por lo $a-b=c$ viajan a $-b+a=c$. (Cuando no hay ninguna señal, que es igual a $+$, lo $a=+a$.

Lo que hemos hecho es identificar la resta como una forma especial de adición, y la conmutación de que.

Su multiplicación problema se puede aclarar de la siguiente manera.

$$\frac{6}{3}\times\frac{2}{1}=\frac{12}{3}=4$$
$$\frac{6}{3\times 2}=1$$

Así, usted no está realmente multiplicar la totalidad de la fracción por $2$ en el segundo caso.

En su central de ejemplo, la igualdad se mantiene, porque los dos lados de la izquierda de la igualdad de $$\frac{a}{1}\times\frac{b}{c}$$

Answer 5

Buena pregunta! La matemática de la palabra para el intercambio de información es conmutativa. Así que usted ha descubierto que la adición y la multiplicación son conmutativas, pero la resta y la división no son conmutativos.

Pero al llegar a los más avanzados de matemáticas, usted va a descubrir algo sorprendente:

La resta y la división no existe!

OK, eso es extrema, pero cerca de la verdad.

Cuando ordinarios de la aritmética, que casi con certeza está trabajando en un campo. Un campo es un conjunto de números donde se puede hacer todo "normal" de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Pero en la definición formal de un campo, sólo hay dos operaciones aritméticas: suma y multiplicación.

Así que ¿por qué no la resta y la división? Porque en un campo, para cualquier elemento $x$, tenemos la garantía de que otros dos elementos:

El inverso aditivo $-x$ donde $x + -x = -x + x = 0$;

y el inverso multiplicativo $1/x$ donde $x \times 1/x = 1/x \times x = 1$ (a excepción de $x=0$ del curso).

Y así en un campo, la resta y la división puede ser definido en términos de la adición y la multiplicación, respectivamente, el último de los cuales ambos son conmutativos. Así que la resta no es conmutativa, pero inversos aditivos son conmutativas, y de manera similar para la división y la multiplicación inversos.