¿Existe un patrón de la factorización de un polinomio módulo $p$ como $p$ varía

Question

Tome $P\in\mathbb{Z}[X]$ y factorizarlo modulo $p$ , donde $p$ es un primo.

Módulo diferente $p$ la factorización varía. ¿Hay algún patrón en esta variación? Es decir, por ejemplo, si $P$ es cuártico, puede factorizarse como "lineal*cúbico", "cuadrático*cuadrático", "cuadrático*lineal*lineal", etc. ¿Tiende a factorizarse más de una manera que de las otras?

Se me ocurrió esta pregunta, porque estoy calculando estas factorizaciones de algunos polinomios, y tienden a "preferir" ciertas formas de factorización. Esto parece curioso, aunque por supuesto, podrían ser sólo las probabilidades.

Answer 1

¡Buena pregunta! De hecho, se trata de una cuestión bastante profunda en la teoría de los números. Los patrones estadísticos vienen dados por Teorema de la densidad de Chebotarev que predice, por ejemplo, que para un polinomio cuadrático irreducible se obtienen dos factores lineales aproximadamente la mitad de las veces y un factor cuadrático aproximadamente la otra mitad. En general, Chebotarev dice que la frecuencia de cada tipo de factorización está controlada por la Grupo de Galois del polinomio.

Describir los primos exactos en los que se producen las distintas factorizaciones es difícil. Si $P$ tiene grupo de Galois abeliano, entonces la respuesta viene dada por teoría del campo de clases y puede darse en términos de condiciones de congruencia sobre los primos. Esto es más fácil de ver para el polinomios ciclotómicos . Ya la aplicación a los polinomios cuadráticos es esencialmente reciprocidad cuadrática que no es trivial.

Si $P$ es no abeliana, entonces la respuesta es más complicada. Incluso para los casos simples no abelianos la descripción exacta puede implicar matemáticas más sofisticadas como formas modulares por ejemplo, $P(x) = x^3 - x - 1$ se controla mediante la forma modular

$$q \prod_{n=1}^{\infty} (1 - q^n)(1 - q^{23n})$$

como se describe aquí . En cierto sentido, responder a esta pregunta es el objetivo de (¿parte de?) la Programa Langlands .

Answer 2

No, estás en algo. Me gusta usar la variable $z$ por esto. Olvidé lo que ocurre si se factoriza $z^3 - 2 \pmod 3.$ Después de eso, hay un patrón simple cuando $p \equiv 2 \pmod 3,$ si se tiene en cuenta $z^3 - 2 \pmod p.$ Es decir, un factor lineal por uno cuadrático.

Esta es la parte bonita: una vez $p \equiv 1 \pmod 3,$ y usted factoriza $z^3 - 2 \pmod p,$ se obtienen dos resultados muy diferentes: si hay una expresión $p = x^2 + 27 y^2$ en números enteros, se obtienen tres términos lineales, distintos. Sin embargo, si $p = 4 x^2 + 2 x y + 7 y^2,$ irreducible.

Ve a la figura.

Un ejemplo similar, véase Números representados por una forma cúbica y el factor $$ z^3 - z^2 - z - 1 $$ por separado para los primos con Legendre $(p|11) = -1$ y luego para $p = x^2 + 11 y^2$ y luego para $p = 3 x^2 + 2 x y + 4 y^2.$ Como antes, cuando hay un $xy$ plazo, tiene que permitir $xy$ tanto positivos como negativos para obtener todos los posibles primos de este tipo. Por ejemplo, con $x=1,y=-1,3 x^2 + 2 x y + 4 y^2 =5. $

Ejemplos cuárticos: factor $z^4 + 3 \pmod p,$ cuando (A) $p=2,3$ (B) más grande $p \equiv 3 \pmod 4,$ (C) $p = 5 x^2 \pm 4 xy + 8 y^2,$ (D) $p = 4 x^2 + 9 y^2,$ (E) $p = x^2 + 36 y^2$

Factor $z^4 + 2 z^2 - 7 \pmod p,$ cuando (A) $(-56|p) = -1,$ (B) $p = 3 x^2 \pm 2 xy + 5 y^2,$ (C) $p = 2 x^2 + 7 y^2,$ (D) $p = x^2 + 14 y^2.$ Este es el que se trabaja en su totalidad en David A. Cox, Primas de la forma $x^2 + n y^2.$ En la página 188 de ese libro, el Teorema 9.12 da las frecuencias de los tipos de primos que he estado especificando. Es una aplicación de la Densidad de Chebotarev que menciona Qiaochu.

ME GUSTAN LOS EJEMPLOS. DECLÁRAME.

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Answer 3

La factorización de un polinomio integral $f(x)$ módulo de un primo $p$ está estrechamente relacionada con la descomposición del primo $p$ en el campo de división de $f(x)$ . Para los polinomios cuadráticos, la factorización viene determinada por la clase de congruencia de $p$ modulo el discriminante de $f(x)$ . En general, hay mo [ ]