¿Qué es tan especial acerca de seno? (Sobre $y" = -y$)

Question

En un intento de realidad grok seno, me encontré con el $y"= -y$ definición.

Esto es increíblemente genial, pero me lleva a toda una nueva serie de preguntas. Sine parece bastante frecuente en todas partes en la vida (manantiales, sonido, círculos...) y me pregunto, ¿qué es tan especial acerca de la segunda derivada en este escenario?

En otras palabras, ¿por qué la naturaleza / matemáticas parece que se preocupan más sobre el escenario donde $y" = -y$ en lugar de, digamos, $y' = -y$ o $y"' = y$?

¿Por qué es la aceleración igual a la negativa de la magnitud de un tema recurrente en las matemáticas y la naturaleza, mientras que la velocidad igual a la negativa de la magnitud ($y'=-y$) o idiota igual al negativo de la magnitud ($y"'=-y$) son aparentemente sin importancia?

En otras palabras, lo que hace sine tan especial?

Tenga en cuenta que esta pregunta también una especie de se aplica a $e$, que satisface $y" = y$.

(Edit: Sí, entiendo que $e$ y $\sin$ están estrechamente relacionados. Yo no estoy buscando una relación entre la $e$ y $\sin$.

Más bien, me pregunto por qué estas funciones, en particular, que ambos surgen de una relación entre una función y su propia derivada segunda, son tan frecuentes. Por ejemplo, hacer las funciones de satisfacciones $y"'=-y$ también se repiten con frecuencia, y no he notado? O es la segunda derivada de alguna manera "importante"?)

Answer 1

Esta respuesta es quizás más adecuado a la física.SE, pero de todos modos.

Puedo ver por qué usted se está preguntando acerca de la "particularidad" de y" = -y (o, más en general -ky). Permítanme tratar de dar una explicación de por qué se muestra todo el lugar.

Imagina una bola sentados en la parte inferior de una ronda bien (se ve como un U), su ecuación de movimiento es de $y = 0$, su altura es constante y no cambia (digamos que es 0). Imagina que molestar a esta bola muy ligeramente, se levanta a una altura muy pequeña $\epsilon$ a lo largo de la pared del pozo. Hay una fuerza que actúe sobre él para volver a 0. Esta fuerza es una función de $\epsilon$, $F(\epsilon)$.

Podemos expandir $F(\epsilon) = a_0 + a_1 \epsilon + a_2 \epsilon^2 + ...$ Observando que F(0) = 0, obtenemos $a_0 = 0$. Desde $\epsilon$ es pequeño, $\epsilon^2$ y todos los poderes superiores son muy pequeñas.. Así que vamos a ignorarlos. Así, obtenemos $F(\epsilon) \aprox - k \epsilon$ (el signo negativo, debido a la función tira la bola hacia abajo). Podemos concluir que $F(y) = -k$ y, alrededor del equilibrio.

Sabemos que la fuerza es proporcional a accleration (a baja velocidad). Por lo tanto, $m" = -k y$ y por tanto $y" = -c y$. Esto significa que cualquier pequeño movimiento en torno a un equilibrio estable es de aproximadamente una sinusoide. Ahora un movimiento circular está a sólo dos oscilaciones (uno en cada eje).

Todo esto es sólo una consecuencia del hecho de que nuestro universo parece estar a favor de las ecuaciones de segundo grado, ya que la fuerza es proporcional a la aceleración (no a la velocidad y no el cambio de la aceleración). ¿Por qué es este el caso? Uno puede rastrear a la acción (Hamiltoniano) de un sistema físico o incluso a las leyes de la conservación (que siga a partir de los invariantes, por ejemplo, que la física no va a cambiar si nosotros cambiamos todo hacia arriba o hacia abajo, o si hacemos el experimento en un momento posterior). Sin embargo, estas son sólo las características de nuestro universo.

Answer 2

Desde un punto de vista físico, esto viene de la prevalencia de la simple osciladores armónicos. Un SHO es un sistema en el que la fuerza es lineal en $\mathbf{x}$ y dirigida opuesto al desplazamiento del equilibrio. Si pones eso en la segunda ley de Newton, se obtiene

$$\mathbf{F}_\text{red} = -k\mathbf{x} = m\ddot{\mathbf{x}}$$

Con un adecuado cambio de variables, esto es sólo su ecuación diferencial $y"=-y$.

Resulta que casi todos los sistema delimitado en la física puede ser modelado como un oscilador armónico simple, al menos como un líder de la aproximación. Esto está relacionado con la tendencia de los sistemas físicos a buscar un equilibrio estable en algunos de la función potencial de $V(\mathbf{x})$. En una posición de equilibrio estable, la primera derivada de la $V(\mathbf{x})$ desvanece, y debido a que sólo las diferencias de potencial son físicamente significativa, el valor real en el equilibrio se puede establecer a cero, por lo que el líder no trivial plazo en una expansión en series de Taylor de las posibilidades es el término cuadrático, $V(\mathbf{x}) \aprox V"(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^2$. Y debido a que $\mathbf{F}=-\nabla V$, este potencial se le da el comportamiento de un SHO para pequeños desplazamientos.

Answer 3

Supongo que esta no es la respuesta esperada, pero es sin duda algo muy especial acerca de seno.

"Lo que hace sine tan especial?" Es simplemente el más sabio y el más moderado de la función real que podría existir !

Teorema de
Deje que $f : \Bbb R \a \Bbb R$ una función de la clase de $\mathcal C^\infty$. Asumir que :

1. $f'(0) = 1$ ;
2. para todo entero no negativo de $n$, la función $|f^{(n)}|$, el módulo de la $n$th derivado de $f$, está limitada por 1.

Entonces $f$ es la función seno. #

Hay poco más fuerte que las formas de este teorema, pero no las recuerdo... Todo está en la RMS, cuestión 116-3. Tabla de contenido

Answer 4

En la siguiente animación, la flecha roja en el interior del círculo traza $\gamma(t)=(\cos(t),\sin(t))$ flecha roja y fuera del círculo muestra la tangente al círculo en $\gamma(t)$.

La flecha azul en el círculo muestra $\gamma^{\,\prime}(t)$, que es paralela a la tangente en $\gamma(t)$. La flecha azul en el exterior del círculo muestra la tangente al círculo en $\gamma^{\,\prime}(t)$.

La flecha verde muestra $\gamma^{\,\prime\prime}(t)$, que es paralela a la tangente en $\gamma^{\,\prime}(t)$.

$\hspace{4cm}$

Tenga en cuenta que la flecha verde que apunta precisamente en el sentido contrario de la flecha roja en el interior del círculo. Por lo tanto, tenemos $\gamma^{\,\prime\prime}(t)=-\gamma(t)$. Por lo tanto, $\cos^{\,\prime\prime}(t)=-\cos(t)$ y $\sin^{\,\prime\prime}(t)=-\sin(t)$.

Funciones periódicas se puede descomponer en la circular componentes. Esta es la idea principal detrás del Análisis de Fourier. Si una de las circulares de los componentes tiene una mayor amplitud que el de los demás, toda función aparece esencialmente circular. En dos dimensiones, si la amplitud en una de las direcciones es más grande, el movimiento aparecerá unidimensional, pero todavía es un movimiento armónico, donde $x"=-kx$.

Al menos para mí, esto es lo que hace las funciones circulares ($\sin$ y $\cos$), de modo especial, en cierto modo, son los básicos de funciones periódicas.

Answer 5

Es bueno tener el punto de vue de los senos, y por la definición de la exp. De hecho, tenemos :$\sin(x) = \operatorname{Im} e^{ix})$ y la definición de $e^{ix}$ es muy visual por la ecuación $y'=iy$ : usted debe tomar la dirección de la tangente del círculo para todo $x$. $\mathrm{seno}$ es una función especial, ya que $\exp$ demasiado...