Suma de Riemann en un intervalo infinito

Question

Es bien sabido que en el caso de un intervalo finito $[0,1]$ con una partición de igual tamaño $1/n$ tenemos: $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx$$ Me preguntaba en qué condiciones en $f$ esto podría extenderse al caso de la línea real positiva, es decir, qué condiciones sobre $f$ nos permitiría ser capaces de escribir con rigor: $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k\geq0} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^{\infty} f(x)dx$$ Cualquier idea o referencia a la literatura sería muy apreciada.

Answer 1

Hay dos tipos de formas de extender la integral de Riemann a conjuntos no limitados. La primera es la que probablemente adivinarías primero $$ \int_0^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty}\int_0^b f(x)dx $$ siempre que las integrales de la derecha existan para todo $b$ y el límite del lado derecho existe. La otra forma es decir una secuencia de uniones de intervalos compactos disjuntos $E_i = \cup_{k=1}^{n_i}[a_k,b_k]$ agota un conjunto $E$ si $E_{i+1} \supseteq E_i$ y $\cup_{i=1}^\infty E_i = E$ . (Me ceñiré a las uniones de intervalos disjuntos para evitar la discusión sobre la mensurabilidad de Peano-Jordan, que puedes buscar si lo deseas). Entonces se puede definir $$ \int_0^\infty f(x)dx = \lim_{n\to \infty} \int_{E_i} f(x)dx $$ siempre que el límite de la derecha exista y sea independiente de la secuencia de agotamiento $E_i$ .

Al principio estas definiciones pueden parecer similares, pero considere $$\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx$$ Si se toma el límite como $b \to \infty$ como en la primera definición, se obtiene $\frac{\pi}{2}$ . Sin embargo, si se toma la segunda definición, se encontrará que la integral no existe porque la integral de la parte positiva y la parte negativa son ambas $\infty$ .

Una cosa que es fácil de ver es que si $f \geq 0$ es continua, entonces las dos clases de integrales con ambas existen y son iguales entre sí. Así, de $f^+,f^-\geq 0$ son las partes positiva y negativa de $f$ y $$\int_0^\infty f^+(x)dx,\int_0^\infty f^-(x)dx < \infty$$ o de forma equivalente $\int_0^\infty |f(x)| dx < \infty$ entonces los dos tipos de integrales con ambos existen, son finitos y son iguales entre sí.

Ahora, para responder a su pregunta. Supongamos que $f$ es continua y $\int_0^\infty |f(x)|dx < \infty$ . Investiguemos cuando $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k \geq 0} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^\infty f(x)dx.$$

Escriba $$ \frac{1}{n}\sum_{k \geq 0} f\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{n}\sum_{k = mn}^{(m+1)n-1}f\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{m=0}^\infty S(f;1/n;[m,m+1]) $$ Dónde $S(f;\Delta x,[a,b])$ denota la suma de Riemann izquierda de $f$ de ancho $\Delta x$ en el intervalo $[a,b]$ . Desde $f$ es continua en $[m,m+1]$ por cada $m$ tenemos $S(f;1/n;[m,m+1]) \to \int_{m}^{m+1} f(x)dx$ como $n \to \infty$ . Entonces lo que nos gustaría decir es que $$ \lim_{n\to \infty}\sum_{m=0}^\infty S(f;1/n;[m,m+1]) = \sum_{m=0}^\infty\lim_{n\to \infty} S(f;1/n;[m,m+1]) $$ $$ =\sum_{m=0}^\infty \int_{m}^{m+1} f(x)dx = \int_{0}^\infty f(x)dx $$ ¿qué nos permite justificar estos pasos? La segunda igualdad es solo definición, y como asumimos $\int_0^\infty |f(x)|dx < \infty$ no tenemos que preocuparnos por la última igualdad ya que sabemos que $\{\cup_{m=0}^k[m,m+1]\}_k$ es una secuencia agotadora de $[0,\infty]$ (la superposición de un solo punto está bien, no te preocupes), así que todo lo que tenemos que justificar es el primero, intercambiando el límite y la suma.

Dejemos que $S^*$ y $S_*$ representan las sumas superiores e inferiores de Riemann, respectivamente. Entonces, por supuesto $$ S_*(f;1/n;[m,m+1]) \leq S(f;1/n;[m,m+1]) \leq S^*(f;1/n;[m,m+1]) $$ y de mayor importancia para este problema $$ |S_*(f;1/n;[m,m+1])|, |S^*(f;1/n;[m,m+1]) | \leq S^*(|f|;1/n;[m,m+1]) $$ Entonces un caso suficiente para poder intercambiar la suma y el límite es que para algún $n$ $$\sum_{m=0}^\infty S^*(|f|;1/n;[m,m+1]) < \infty.$$ La justificación de esto es que estás acotando las sumas parciales por una función integrable y por lo tanto puedes aplicar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Como corolario, obtenemos el amistoso

Corolario . Si $|f(x)| \leq g(x)$ donde $g(x)$ es decreciente y $\int_0^\infty g(x)dx < \infty$ entonces $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k \geq 0} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^\infty f(x)dx. $$

Prueba. $$\sum_{m=0}^N S^*(|f|;1;[m,m+1]) \leq S^*(g;1;[0,N+1]) \leq g(0) + \int_{0}^{N+1} g(x)dx \leq g(0) + \int_0^\infty g(x)dx$$ para todos $N$ . Así, $$\sum_{m=0}^\infty S^*(|f|;1;[m,m+1]) \leq g(0) + \int_0^\infty g(x)dx < \infty. $$

También hay que tener en cuenta que sólo se necesita $|f(x)| \leq g(x)$ para todos $x>x_0$ para algunos fijos $x_0$ .

Answer 2

Para algunos $x\in[a,b]$ tenemos $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x-f(a)(b-a)=f'(x)(b-a)^2 $$ Por lo tanto, $$ \lim_{n\to\infty}n\left|\,\sum_{k=0}^\infty f\left(\frac kn\right)\frac1n-\int_0^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\,\right| \lesssim\int_0^\infty\left|\,f'(x)\,\right|\,\mathrm{d}x $$ Esto dice que si la variación de una función es finita, entonces las sumas de Riemann convergen a la integral. Esto tiene sentido, porque cualquier función de variación acotada puede escribirse como la diferencia de dos funciones monótonas decrecientes.