Encuentre el dominio de $$f(x)=x^{\frac{1}{x}}$$ Tengo confusión sobre los números reales negativos. si $x=-2$ entonces $f(x)$ no es real, pero si $x=-3$ , $f(x)$ es real. No consigo averiguar qué conjunto de números reales negativos entran en el Dominio.Los libros dan el Dominio como $\mathbb{R^+}$
Si está pensando en la línea de $\sqrt[3]{-27}=-3$ , eso no es lo mismo que $(-27)^{1/3}$ .
$(-27\pm i\varepsilon)^{1/3}$ no se acercan a un real negativo (donde $\varepsilon$ es un pequeño real positivo), por lo que si $(-27)^{1/3}$ tenía sentido, el deseo de trabajar con funciones continuas significaría $(-27)^{1/3}$ no es un real negativo.
Estas consideraciones deberían convencer a alguien de que no es buena idea decir $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ cuando $x$ es negativo.
Si insiste en que $\sqrt[3]{-27}=(-27)^{1/3}$ Entonces, ¿por qué no es lo mismo que $(-27)^{2/6}=\sqrt[6]{(-27)^2}$ ¿que es un real positivo? Te metes en problemas así si insistes en que $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ cuando $x$ es negativo.
@alex.jordan No creo que $e^{x\ln{1/x}}\neq{x}^{\frac{1}{x}}$ cuando $x<0$ . Más $x^{p/q}$ no es igual a $\sqrt[q]{x^p}$ . No debes hacer nada con $p/q$ cuando $x$ es negativo.
Observación general: dada una función de valor real $f$ podemos escribir $$ f(x)=\exp(\log(f(x))) $$ sólo cuando $f>0$ .
Por lo tanto, en su caso $\Bbb R^{+}$ está claramente contenido en el dominio de la función $f(x)=x^{\frac1 x}$ . Queda por demostrar que no se admite ningún otro punto en el dominio.
$0$ está claramente fuera.
Entonces, si $x<0$ lo que tienes es una potencia de un número real negativo. Pero en el sistema de números reales, la potencia se define sólo para la base positiva. Por lo tanto, no se puede tener en cuenta ningún número negativo.
Así, el dominio de su función está dado por todos y sólo los números reales positivos, $\Bbb R^{+}$ .
@Arthur ¿Quieres decir que $-\sqrt[3]{1/3}$ ? De todos modos, la pregunta es muy confusa, ¿por qué que f(x) no sea real es un problema? Dado lo confuso de la pregunta, no me disgusta esta respuesta.
El dominio de una función f(x) no es el dominio de e^log(f(x)), aunque en este caso el resultado es el mismo
@Joe, no podemos cambiar la Definición de la función, porque si lo hacemos, el Dominio cambia. Por ejemplo, el dominio de la definición de $$f(x)=\log_{10}\left(x^2+2x+1\right)$$ es $\mathbb{R}-{-1}$ Pero cuando escribimos $f(x)$ como $$f(x)=2\log_{10}(x+1)$$ El dominio ha cambiado a $(-1 \: \infty)$
@Alex.Jordan publicó una buena respuesta pero hay un dominio que existe para ${x}^{1/x}$ si ${1/x}$ se reduce. Por lo tanto, no creo que su respuesta sea adecuada a la pregunta de la OP.
Cuando el exponente de $x^{p/q}$ que es $p/q$ se reduce por completo y $q$ es impar, $x^{p/q}$ satisface las identidades de $\sqrt[q]{x^p}$ y $\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p}$ para el dominio negativo. Así, para ${x}^{1/x}$ debemos encontrar los valores de $1/x$ donde la salida tiene un denominador impar y se reduce completamente.
También hay que saber que para $f(x)^{g(x)}$ que $f(x)^{g(x)}\neq{e^{\ln(f(x))g(x)}}$ cuando $x<0$ . Esto porque $\ln(x)$ para el logaritmo real es indefinido en números negativos. Así que no hay razón para utilizar esta identidad para calcular el dominio negativo. De hecho debemos analizar $x^{1/x}$ estrictamente para el dominio real.
Un ejemplo es para $e^{\ln{x}}=x$ para $x<0$ . Cuando $x=-1$ los dos términos no son lo mismo.
Utilizando todos mis puntos anteriores, se puede encontrar el verdadero dominio de $x^{\frac{1}{x}}$ es...
$(0,\infty)\bigcup{\left\{ {2n+1\over 2m+1}\ |\ n, m \in \Bbb Z\right\}}\bigcup\left\{ {2n+1\over 2m}\ |\ n, m \in \Bbb Z\right\}$
Para $f(x)^{g(x)}$ cuando se trata de buscar la salida de $g(x)$ que tiene una fracción reducida con un denominador impar; se puede encontrar el dominio de $f(x)^{g(x)}$ cuando $f(x)$ es negativo.
Asegúrese de comprobarlo:
Encuentre el dominio de $x^{2/3}$
¿Cuál es el dominio de $x^x$ cuando $ x<0$
¿Puede el gráfico de $x^x$ ¿tiene una parcela de valor real por debajo de cero?
¿Cómo podemos describir el gráfico de $x^x$ ¿para los valores negativos?
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Asegúrese de comprobar... math.stackexchange.com/questions/109316/find-the-domain-of-x2-3 math.stackexchange.com/questions/398224/ math.stackexchange.com/questions/394110/ math.stackexchange.com/questions/695701/