De Rham cohomology de $\mathbb{RP}^{n}$

Question

Considere la posibilidad de mapa de $S^{n}$ $\mathbb{RP}^{n}$$$\varphi:S^{n}\to\mathbb{RP}^{n}$$ que punto de mapas $x\in S^{n}$ a la correspondiente dirección en $\mathbb{R}^{n+1}$. Este mapa induce mapa $${\varphi}^{*}:\Omega^{\bullet}(\mathbb{RP}^{n})\to\Omega^{\bullet}(S^{n})$$ y el mapa de de Rham cogomology grupos $${\psi}^{*}:H^{\bullet}(\mathbb{RP}^{n})\to H^{\bullet}(S^{n}).$$ como yo lo veo para el n-ésimo cohomology $$\dim H^{n}(\mathbb{RP}^n) = \dim\operatorname{Im} {\psi}^{*} + \dim\operatorname{Ker} {\psi}^{*}$$ Estoy en lo cierto que $$\dim\operatorname{Ker} {\psi}^{*} = 0$$ (por qué?) y $$\dim\operatorname{Ker} {\psi}^{*} = 0,1~~~\text{depending on the parity of}~n?$$

Muchas gracias!

Answer 1

La involución $i:S^n\to S^n:x\mapsto -x$ induce una descomposición $\Omega^n(S^{n})=\Omega^n_+(S^{n}) \oplus \Omega^n_-(S^{n})$ donde $\Omega^n_\pm(S^{n}) $ se compone de las formas diferenciales de satisfacciones $i^*\omega=\pm \omega$.
Esto produce una descomposición $H^n(S^{n})=H^n_+(S^{n}) \oplus H^n_-(S^{n})\cong \mathbb R$

Por otro lado, el cociente mapa de $\phi:S^{n}\to\mathbb{RP}^{n}$ induce un isomorfismo $\phi^*:\Omega^n(\mathbb P^{n})\stackrel {\cong}{\to }\Omega^n_+(S^{n})$ y, a continuación, un isomorfismo $\phi^*:H^n(\mathbb P^{n})\stackrel {\cong}{\to }H^n_+(S^{n})$.

Finalmente, queda el aviso de que el canónica generador de $[\omega_0]\in H^n(S^{n})=\mathbb R [\omega_0]$ $H^n_+(S^{n})$ o $H^n_-(S^{n})$ $n$ es par o impar, ya que $i^*(\omega_0)=(-1)^{n+1}\omega_0$.
Así pues, podemos concluir que el $H^n(\mathbb P^{n})=\mathbb R$ $n$ impar y $H^n(\mathbb P^{n})=0$ $n$ incluso.

Recordatorio
La forma $\omega_0\in \Omega^n(S^n)$ está definido por $$\omega_0(s)(v_1,\cdots,v_n)=det(s,v_1,\cdots,v_n)$$

La explicación de esta fórmula: El punto de $s$ se encuentra en la esfera de lo que es en sí mismo incrustado en $\mathbb R^{n+1}$, es decir,$s\in S^n\subset \mathbb R^{n+1}$.
El valor de $\omega_0(s) $ $s$ $\omega_0$ $n$- multilineal forma en $T_s(S^n)\subset T_s(\mathbb R^{n+1})=\mathbb R^{n+1}$ $T_s(S^n)$ se compone de los $v\in \mathbb R^{n+1}$ ortogonal al vector $s$, es decir,$T_s(S^n)=s^\perp$.
La fórmula dice que el valor de la función multilineal $\omega_0(s) $ $n$- tupla de vectores $v_1,\cdots,v_n\in T_s(S^n)$es el determinante de la matriz de la $n+1$ vectores $s,v_1,\cdots,v_n$ visto como vectores columna en $\mathbb R^{n+1}$.