Generalizada convexa de la combinación de más de un espacio de Banach

Question

La Pregunta: Es el verdadero? Si no, ¿qué más hipótesis necesito?

Deje $X$ ser un espacio de Banach, y deje $C \subset X$ ser cerrado y convexo. Deje $P$ ser una medida de probabilidad sobre $D$, y deje $f:D \to X$ $f(D) \subseteq C$ $P$- integrable. Entonces $$ \int_D f \,dP \en C $$

Intuitivamente, creo que este debería de ser cierto ya que es una especie de "límite" de combinaciones convexas de elementos de $C$. Es decir, cuando se $P$ es un discreto medir con un número finito de átomos, entonces esto es simplemente la definición de la convexidad, y me gustaría pensar que hay algún límite por el cual podemos llegar a las integrales con respecto a la medida arbitrario.

No estoy seguro, sin embargo, cómo formalizar este argumento. Esto parece algo que haría estallar en referencia a la mano, o en su defecto, al menos parece como una especie de argumento de que alguien de aquí podría llenar los espacios en blanco.

Al menos, yo estaría interesado en un argumento que funciona en el caso de que $X = \Bbb R^n$ (o $X = \Bbb C^n$).

Answer 1

Voy a asumir real escalares para su comodidad. Si $y = \int_D f\; dP \notin C$, luego por el Teorema de Separación no es $r \in \mathbb R$ y un continuo lineal funcional $\phi$ tal que $\phi(y) > r$ mientras $\phi \le r$$C$. Pero $\phi(y) = \int_D \phi(f)\; dP \le \int_D r \; dP = r$, contradicción.

Answer 2

Asumiendo cualquier tipo de integral estás hablando satisface $$\Lambda\left(\int f\right)=\int\Lambda\circ f\quad(\Lambda\in X^*)$$este es inmediata a partir de la de Hahn-Banach teorema (distinto-convexo-sets-una-cerrado-uno-convexa de la versión):

https://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80%93Banach_theorem#Geometric_Hahn.E2.80.93Banach_theorem