Dado $\kappa (s)$ y $\tau (s)$ y un aparato de frenado $\lbrace T_0,N_0,B_0 \rbrace$ ¿Cómo se puede reconstruir una curva espacial?
Sé que tengo que usar las ecuaciones de frenet-serret, pero no consigo dar con la tecla. Gracias.
Respuestas
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Thomas
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Necesitas un punto de partida $\gamma_0$ de su curva $\gamma$ . Entonces puedes resolver el problema de valor inicial: $$\begin{align}\gamma'(s) &= T(s), \\ T'(s) &= \kappa(s) N(s), \\ N'(s) &= -\kappa(s)T(s) + \tau(s)B(s), \\ B'(s) &= -\tau(s)N(s), \\ \gamma(0) = 0,\, T(0) &= T_0,\, N(0) = N_0,\, B(0) = B_0\end{align}$$
Andrew
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Como ya han señalado los anteriores contestatarios, en general uno no puede o no quiere obtener soluciones de forma cerrada para las ecuaciones diferenciales que resultan de Frenet-Serret (salvo en los casos más sencillos, como las hélices). En la práctica, lo que se suele hacer es recurrir a métodos numéricos (por ejemplo, Runge-Kutta) si lo único que se quiere es ver la curva con una curvatura y una función de torsión determinadas. Las condiciones iniciales para estas ecuaciones diferenciales se obtienen colocando su trihedral de Frenet en alguna posición conveniente. Una práctica común es colocar el triedro inicial de tal manera que la curva pase por el origen, y los tres vectores coincidan con los ejes.
bubba
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Lo que quieres hacer es reconstruir la curva a partir de su llamada "ecuación natural". Esta página le muestra cómo, o puede encontrarlo en casi cualquier libro decente sobre geometría diferencial.
La ubicación del punto de partida y el marco inicial de Frenet serán suficientes. Se reconstruye la curva mediante varios pasos de integración, y las condiciones iniciales proporcionan las constantes de integración. Sin ellas, no se conoce la posición y la orientación de la curva.
No podrás obtener ecuaciones explícitas para la curva (a menos que tengas ecuaciones explícitas para la curvatura y la torsión); tu respuesta será en términos de las integrales que he mencionado.
