No es cierto en general que $\mathcal{A}_n\times\mathcal{B}$ disminuye a $\mathcal{A}_\infty\times\mathcal{B}$. En general, la desigualdad de $\mathcal{A}_\infty\times\mathcal{B}\subseteq\bigcap_n(\mathcal{A}_n\times\mathcal{B})$ mantiene, pero la desigualdad pueden ser estrictas. Voy a demostrar esto mediante un contraejemplo.
Considere el caso donde $X=Y=2^\mathbb{N}$. Un elemento $\omega$ de este espacio es una función $\omega\colon\mathbb{N}\to\{0,1\}$. Piense en esto como el espacio de una secuencia infinita de lanzar una moneda, donde $\omega(n)=1$ si la n-esima de la sacudida es una cabeza y $\omega(n)=0$ si se trata de una cola. También, vamos a $\mathcal{A}=\mathcal{B}$ ser el sigma-álgebra generada por el individuo tiros, de modo que se genera por parte de los sets $A_n=\{\omega\in X\colon\omega(n)=1\}$ ($n=1,2,\ldots$). También, vamos a $\mathcal{A}_n$ ser el sigma-álgebra generada por todos los lanzamientos en o después de la n-esima. Por eso, $\mathcal{A}_n$ es generado por $\{A_m\colon m\ge n\}$. A continuación, $\mathcal{A}_\infty=\bigcap_n\mathcal{A}_n$ es la cola de sigma-álgebra. Afirmo que el conjunto de
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S=\bigcup_{n=1}^\infty\left\{(\omega_X,\omega_Y)\X\times Y\colon \omega_X(m)=\omega_Y(m)\;{\rm\ todos\;}m\ge n\right\}
$$
es en $\bigcap_n(\mathcal{A}_n\times\mathcal{B})$, pero no en $\mathcal{A}_\infty\times\mathcal{B}$. Aquí, $S$ representa los pares de secuencias de lanzar una moneda que está de acuerdo el uno con el otro para todos, pero un número finito de resultados. El evento para el que están de acuerdo en cada sorteo a partir de la n-esima de una es $S_n=\bigcap_{m\ge n}((A_m\times A_m)\cup(A_m^c\times A_m^c))$, en $\mathcal{A}_n\times\mathcal{B}$. Luego tenemos la $S=\bigcup_{m\ge n}S_m\in\mathcal{A}_n\times\mathcal{B}$ todos los $n$, lo $S\in\bigcap_n(\mathcal{A}_n\times\mathcal{B})$. De hecho, $S\in\bigcap_n(\mathcal{A}_n\times\mathcal{A}_n)$.
También se puede mostrar que el $S\not\in\mathcal{A}_\infty\times\mathcal{B}$. Deje $\mathbb{P}$ ser la medida de probabilidad en $(X\times Y,\mathcal{A}\times\mathcal{B})$ de manera tal que, los resultados de la $(\omega_X,\omega_Y)\in X\times Y$ están distribuidas de tal manera que $\omega_X(n)$ son independientes de variables aleatorias de Bernoulli con una probabilidad de 1/2 de ser igual a uno (en representación de arrojar una moneda), $\omega_Y=\omega_X$ con una probabilidad de 1/2, y $\omega_Y=1-\omega_X$ con una probabilidad de 1/2. Es decir, si $\epsilon=(\epsilon_1,\epsilon_2,\ldots)$ es una secuencia de variables aleatorias independientes con $\mathbb{P}(\epsilon_k=1)=\mathbb{P}(\epsilon_k=0)=1/2$
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\mathbb{P}(U)=\frac12\mathbb{P}\left((\epsilon,\epsilon)\U,\right)+\frac12\mathbb{P}\left((\epsilon,1-\epsilon)\U,\right)
$$
para cualquier $U\in\mathcal{A}\times\mathcal{B}$. A continuación, $\mathbb{P}(S)=1/2$. Ahora considere la posibilidad de cualquier conjunto $U=V\times W\in\mathcal{A}_\infty\times\mathcal{B}$. Prueba de Kolmogorov cero-la ley dice que el $V$ tiene probabilidad 0 o 1. Así, hasta un conjunto de probabilidad cero, tenemos $U=X\times W$ o $U=\emptyset\times W=X\times\emptyset$. En cualquier caso, hasta el conjunto de probabilidad cero, $U$ puede ser escrito como $X\times W$ algunos $W\in \mathcal{B}$ y, por la monotonía de la clase teorema (o pi-sistema d-sistema de lema), esto se extiende a todos los $U\in\mathcal{A}_\infty\times\mathcal{B}$. Sin embargo, $S$ es no de esta forma. De hecho, como $S$ sólo depende de los eventos $C_n=\{(\omega_X,\omega_Y)\colon\omega_X(n)=\omega_Y(n)\}$, se puede observar que es independiente de $\{\emptyset,X\}\times\mathcal{B}$, de modo que si lo hacía se encuentran en este sigma-álgebra (hasta una probabilidad de eventos cero), entonces sería independiente de sí mismo. Esto implicaría $\mathbb{P}(S)=0$ o $\mathbb{P}(S)=1$, lo cual es una contradicción.
Es cierto que, si $\mu,\nu$ de probabilidad de medidas en $(X,\mathcal{A})$ $(Y,\mathcal{B})$ respectivamente y $\mathbb{P}=\mu\times\nu$ es el producto de la medida, luego cada $S\in\bigcap_n(\mathcal{A}_n\times\mathcal{B})$ $\mathcal{A}_\infty\times\mathcal{B}$ hasta una probabilidad cero conjunto. De hecho, se puede demostrar que
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\mathbb{E}\left[X\;\big\vert\mathcal{A}_n\times\mathcal{B}\right]\to\mathbb{E}\left[X\;\big\vert\mathcal{A}_\infty\times\mathcal{B}\right]
$$
es la probabilidad como $n\to\infty$, para cualquier integrable $\mathcal{A}\times\mathcal{B}$medible variable aleatoria $X$ (de hecho, converge casi seguramente, pero que no es necesario aquí). En particular, si $X$ $\bigcap_n(\mathcal{A}_n\times\mathcal{B})$- medible, entonces el lado izquierdo es sólo $X$, lo $X=\mathbb{E}[X\;\vert\mathcal{A}_\infty\times\mathcal{B}]$ es (casi seguramente) $\mathcal{A}_\infty\times\mathcal{B}$-medible.
Para probar este límite, es suficiente para considerar las $X=YZ$ donde $Y$ $\mathcal{A}$-medibles y $Z$ $\mathcal{B}$medible, y aplicar la monotonía de la clase lema. Usted probablemente necesitará Levy hacia abajo del teorema para demostrar que $\mathbb{E}[Y\;\vert\mathcal{A}_n]$ tiende a $\mathbb{E}[Y\;\vert\mathcal{A}_\infty]$ en la probabilidad (tengo una prueba de la tendencia a la baja teorema por el blog, aquí).
