Podrías mirar el artículo de Serre Formas modulares de peso uno y representaciones de Galois en las actas de Durham de 1975 (también en sus obras recopiladas). Recuerdo que da varios ejemplos de Artin $L$ -funciones (incluyendo ejemplos relacionados con Hecke $L$ -en el caso de que la representación de Artin se induzca a partir de un carácter).
En cuanto al cálculo del residuo en $1$ de una función zeta de Dedekind, utilizando la fórmula estándar para ello, se trata básicamente de calcular el regulador y el número de clase del campo. En cualquier caso particular, es lo que es.
Si no has considerado los ejemplos de campos cuadráticos deberías hacerlo (teniendo en cuenta la diferencia entre el caso real y el imaginario; en el primer caso hay unidades no triviales, y por tanto un término regulador no trivial).
El hecho básico que relaciona la función zeta de Dedekind y Artin $L$ -es que la primera es un producto de la segunda. la primera es un producto de la segunda. (Más concretamente, si $L$ es Galois sobre $K$ entonces $\zeta_L$ es un producto del Artin $L$ -funciones $L(\rho)$ , donde $\rho$ corre sobre las irreps. de $Gal(L/K)$ y donde $L(\rho)$ aparece con multiplicidad igual a $\dim \rho$ .)
En el caso de que $L$ es una extensión cuadrática de $K = \mathbb Q$ El grupo de Galois es de orden dos, y hay uno no trivial $\rho$ --- un carácter de orden $2$ --- que por la teoría del campo de clases se identifica con un carácter cuadrático de Dirichlet $\chi$ y $L(\rho) = L(\chi)$ . Así, $\zeta_L = \zeta_{\mathbb Q} L(\chi)$ y, por tanto, la fórmula del residuo fórmula para $\zeta_L$ en $s = 1$ se convierte en una fórmula para el valor de $L(\chi)$ en $s = 1$ . Esta es la fórmula original del número de clase de Dirichlet, que puedes encontrar en muchos sitios si no la conoces ya.
En cuanto a las aplicaciones: la aplicación estándar para la continuación analítica (y la ausencia de cero) hasta la línea $\Re s = 1$ es el resultado de la equidistribución. Por ejemplo, para $\zeta$ -esto da el teorema del número primo (y su análogo en un campo numérico arbitrario), para Artin $L$ -(donde tenemos tal continuación analítica gracias a Brauer) da Cebotarev (¡aunque Cebotarev demostró su resultado antes de una manera diferente, más complicada!), para Hecke $L$ -da resultados de equidistribución para los valores de los caracteres de Hecke análogos a los resultados de equidistribución para los valores de los caracteres de Dirichlet que se desprenden del teorema de Dirichlet sobre los primos en la progresión aritmética (o, mejor, de la demostración de este resultado).
Continuando más allá de la línea $\Re s = 1$ y obteniendo regiones libres de cero, da mejores términos de error en los resultados de la equidistribución. Es más difícil encontrar aplicaciones directas de los resultados de la continuación analítica completa y de las ecuaciones funcionales. Desde el punto de vista moderno, se suelen interpretar (a través de teoremas conversos) como expresión del hecho de que la $L$ -las funciones en cuestión son automórfico $L$ -funciones . (El artículo de Serre mencionado anteriormente aborda casos particulares de esto).
