Describir por qué las normas son función continua por símbolos matemáticos.
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Theo Johnson-Freyd
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Deje $(X,\left\|\cdot\right\|)$ ser una normativa espacio. Tenemos que demostrar que: $$\forall (x_n):\mathbb{N}\to X\ x_n\to x\implies \left\|x_n\right\|\to \left\|x\right\|$$ Deje $\epsilon>0$ $(x_n)$ ser una secuencia arbitraria en $X$ que converge a $x\in X$. A continuación, $$\exists N\in \mathbb{N}:n\ge N\implies \left\|x_n-x\right\|<\epsilon$$ Pero $$ \left| \left\|x_n\right\|- \left\|x\right\|\right|\le \left\|x_n-x\right\|$$ por la desigualdad de triángulo. Por lo tanto, $$\exists N\in \mathbb{N}:n\ge N\implies \left| \left\|x_n\right\|- \left\|x\right\|\right|<\epsilon$$ y hemos terminado!
Una función de $f$ a de un espacio métrico a un espacio métrico es continua si para todas las $x$ en el dominio, para todos los $\varepsilon>0$, existe la $\delta>0$ tal que para todos los puntos de $y$ en el dominio, si la distancia de a $x$ $y$es de menos de $\delta$, entonces la distancia de $f(x)$ $f(y)$está a menos de $\varepsilon$.
Si $f$ es una norma, entonces se asigna un espacio vectorial en $\mathbb R$, y la distancia de$x$$y$$f(x-y)$.
En este caso basta con retirar $\delta=\varepsilon$, por la siguiente razón. Supongamos que la distancia de $x$ $y$es de menos de $\delta=\varepsilon$. A continuación, $f(x-y)=f(y-x)<\varepsilon$ (donde la igualdad se sigue de la definición de "norma"). Ahora recuerdo que las normas de satisfacer una desigualdad de triángulo: $$ f(x) \le f(y) + f(x-y) $$ $$ f(y) \le f(x) + f(y-x) $$ Así $$ f(y)-f(x) \le f(y-x)<\varepsilon\text{ y }f(x)-f(y) \le f(x-y)<\varepsilon, $$ así $$ |f(x)-f(y)|<\varepsilon, $$ es decir, $$ \Big(\text{distancia de$f(x)$$f(y)$} \Big) <\varepsilon. $$
Godot
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