la probabilidad de Un dado con X se enfrenta a latir B dados con caras

Question

Estoy buscando una fórmula para determinar la probabilidad de Morir con X las caras de rodadura superior a B morir con Y caras.

Un ejemplo podría ser: ¿cuál es la probabilidad de 4d10 rolling mayor que 3d12

Edit: pensé que el último resumen de edición se abrirá, pero no, por lo que añade aquí. Se ha corregido la pregunta un poco y se añade ejemplo.

Edición #2: yo había venido para arriba con una conclusión similar para los porcentajes (x-1/2y) en un caso de dx vs dy

Pero yo no se tuvo en cuenta la diferencia en si "x" es mayor o menor que "y".

Sin embargo ¿qué pasa cuando hay más de uno de los dados del mismo tipo es todavía la misma fórmula? teniendo en cuenta la suma es un poco más irregular, ya que algunos números que se repita más a menudo que otros sustituir "x" y "y" con la suma total de resultados posibles de cada uno de los troqueles combinación? (en xda supongo que el total es de a^x)

Answer 1

Si usted recibe un $k$ sobre el morir con $X$ caras (en el que obviamente $1\le k\le X$), hay $k-1$ números a los que puede vencer. La probabilidad de que viene uno de estos números en el morir con $Y$ caras es

$$\min\left\{\frac{k-1}Y,1\right\}\;,$$

así que la probabilidad deseada es

$$\sum_{k=1}^X\frac1X\min\left\{\frac{k-1}Y,1\right\}=\frac1X\sum_{k=1}^{X-1}\min\left\{\frac{k}Y,1\right\}\;.$$

Si $X\le Y+1$ esto es $$\frac1X\sum_{k=1}^{X-1}\frac{k}Y=\frac1{XY}\sum_{k=1}^{X-1}k=\frac{X(X-1)}{2XY}=\frac{X-1}{2Y}\;.$$ If $X>Y+1$ es

$$\frac1X\sum_{k=1}^{Y-1}\frac{k}Y+\sum_{k=Y+1}^X\frac1X=\frac{Y-1}{2X}+\frac{X-Y}X=1-\frac{Y+1}{2X}\;.$$

Answer 2

Para un pequeño número de dados, el enfoque más sencillo es calcular la respuesta exacta utilizando una hoja de cálculo. Las columnas son los números de los dados y las filas son los valores de la suma. En cada celda es el número de maneras de hacer que la suma con que muchos de los dados. Para encontrar la probabilidad de que la suma en el caso de 4d10 de empezar con Una columna para las sumas, a partir de -10 y va lo suficientemente alto. La columna B es para no dados, así que pongo un 1 en la celda de 0. La columna C es de 1 a morir y en cada celda se suma a los diez filas en la parte superior de la columna a la derecha. Esta va a poner un 1 en cada fila suma de $1$ a través de la suma de $10$. La razón por la que comenzamos con una suma de $-10$ es para evitar que se ejecutan en la parte superior de la hoja. La probabilidad de que cada suma es la entrada en la célula dividida por $10^n$. Si usted tiene acceso a un lenguaje de programación, no sería difícil para el código de este. Probablemente sería menos trabajo si usted tiene varios tamaños de dados a considerar.

Si usted hace esto para 4d10 y 3d12, para cada rollo de 4d10 se puede calcular el número de 3d12 rollos se va a superar y sumarlos.

Para un gran número de dados, usted puede usar la aproximación normal a la suma de las distribuciones uniformes. La media de rollo de d10 es de 5.5 y la varianza es $\frac {99}{12}$

Answer 3

Podemos obtener distintas fórmulas para el caso de $X\le Y$$X\ge Y$.

Es útil calcular primero la probabilidad de que si dos dados tienen el mismo número de $N$ de las caras, la primera a morir late el segundo. Con una probabilidad de $\dfrac{1}{N}$ los resultados son los mismos, por lo que con probabilidad de $1-\dfrac{1}{N}=\dfrac{N-1}{N}$ son diferentes. Si son diferentes, por simetría la probabilidad de que la primera es mayor es $\dfrac{1}{2}$. Por lo que la probabilidad de que el primer morir le da un número mayor que el segundo es $$\dfrac{N-1}{2N}.$$ Llame a este resultado el Hecho Básico.

Caso 1: $X \le Y$. Con una probabilidad de $\dfrac{X}{Y}$, el resultado en la segunda morir es $\le X$. Dado que el resultado en la segunda morir es $\le X$, por el Hecho Básico, la probabilidad de que el resultado de Una es más grande que el resultado en B es $\dfrac{X-1}{2X}$.

De ello se deduce que la probabilidad de Una matriz gana es, en este caso, $\dfrac{X}{Y}\cdot \dfrac{X-1}{2X}$. Esto se simplifica a $$\dfrac{X-1}{2Y}.$$

Caso 2: $X \ge Y$. Aquí puede ganar en $2$ maneras. Si saca un número $\gt Y$, existe un sistema automático de ganar. La probabilidad de esto es $\dfrac{X-Y}{X}$. Si saca un número $\le Y$, lo que ha probabilidad de $\dfrac{Y}{X}$, luego por el Hecho Básico de la probabilidad de Un wins es $\dfrac{Y-1}{2Y}$. Así que nuestra probabilidad es $$\frac{X-Y}{X}+\frac{Y}{X}\cdot \frac{Y-1}{2Y}.$$ Esto puede ser simplificado a $$1-\frac{Y+1}{2X}.$$