El límite de esta serie...?

Question

Dada una serie, ¿cómo hace uno para calcular el límite por debajo? Me di cuenta de que el numerador es una progresión aritmética y el denominador es una progresión geométrica — si eso es de alguna importancia —, pero todavía no sé cómo resolverlo.

$$\lim_{n\to\infty} \sum^n_{k=0} \frac{k+1}{3^k}$$

Yo lo hice "a mano" y el resultado debe ser $\frac{9}{4}.$

Answer 1

Deje $X$ ser una variable aleatoria geométrica con probabilidad de éxito $p=2/3$, por lo que $$ {\rm P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p = \frac{2}{{3^k }}, \;\; k=1,2,3,\ldots. $$ A partir de la fácil-a-recuerde que el hecho de que ${\rm E}(X)=1/p$, se deduce que $$ \frac{3}{2} + 1 = {\rm E}(X) + 1 = {\rm E}(X + 1) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {(k + 1){\rm P}(X = k) = 2\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{k + 1}}{{3^k }}} } . $$ Por lo tanto $$ \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{k + 1}}{{3^k }}} = \frac{5}{4}. $$

Answer 2

si se toma la derivada de $$ \frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^k $$ usted obtener $$ \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1} $$ la evaluación en $x=1/3$ da $$ \frac{1}{(1-1/3)^2}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{3^{k-1}} $$ restar fuera de la $k=1$ plazo para su serie $$ 9/4-1=5/4 $$ así que si usted desea que el anwer a ser $9/4$, es posible que desee cambiar su $1$ $0$ en la indexación

Answer 3

Por cierto, la respuesta que tengo a mano es un poco. Espero que mi sugerencia te ayudará derivar la respuesta correcta.

En primer lugar, tenga en cuenta que , por definición, $$\sum_{k=1}^\infty a_k=\lim_{n\rightarrow\infty}\;\sum_{k=1}^na_k$$ así que voy a usar la infinita suma como una abreviatura.

Sabemos que $$f(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{x^{k+1}}=(x^{-1})^2+(x^{-1})^3+\cdots=\frac{{x}^{-2}}{1-x^{-1}}=\frac{1}{x^2-x}.$$ ¿Qué significa eso $$g(x)=-x^2f'(x)$$ es? Asumir (o, mejor, demostrar) que la diferenciación se puede dividir a través de una infinita suma. Usted puede usar esto para ayudar a sus cálculos?

Answer 4

brecha que formular como este.

$$\sum_{k=1}^{\infty}\left (\frac{k}{3^k}+\frac{1}{3^k}\right )$$

a continuación, $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{3^k}+\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{3^k}+\frac{1}{2}$$ el poder de la serie $$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{3^k}$$

deje $$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{3^k}=S$$ A continuación,

$$ S=1\times \frac{1}{3}+2\times \frac{1}{3^2}+3\times \frac{1}{3^3}+\cdots \cdots $$ $$\frac{1}{3}S=1\times \frac{1}{3^2}+2\times \frac{1}{3^3}+3\times \frac{1}{3^4}+\cdots \cdots $$ $$S-\frac{1}{3}S=1\times \frac{1}{3}+(2-1)\times \frac{1}{3}+(3-2)\times \frac{1}{3}\cdots \cdots =\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$$ La respuesta es $$\therefore \frac{2}{3}S=\frac{1}{2},S=\frac{3}{4}$$

$$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$$