¿Cuál es la función de onda del experimento de la doble rendija de Young?

Question

Nunca he visto la función de onda de este experimento y me gustaría saber cómo derivarla utilizando la ecuación de Schrodinger. En concreto, quiero ver cómo la función de onda del electrón sale de la fuente, luego pasa por las rendijas y produce el patrón de difracción característico en el otro extremo.

Answer 1

Bueno, hay muchas cosas que podrías hacer. Podrías:

1. considera dos haces gaussianos (el artículo enlazado es para la electrodinámica)
2. aplicar algunas aproximación paraxial (que sería más apropiado para tratar a los electrones con un elevado momento de avance)
3. hacer una aproximación simétrica y barata de la fuente puntual utilizando las funciones de Green.

Puedo hacer el número tres por ti :)

Si toma $\hbar=1$ , $m=\frac{1}{2}$ entonces la ecuación en cuestión se convierte en $i \dot{\varphi}+\nabla^2 \varphi=0$ que tiene una solución:

$$\left(\frac{a}{a+2 i t}\right)^{3/2} \exp \left( {-\frac{x^2+y^2+z^2}{2 a+4 i t}}\right) $$

Entonces puedes sumar dos de estas fuentes puntuales y trasladarlas:

$$\left(\frac{a}{a+2 i t}\right)^{3/2} \exp \left( {-\frac{x^2+y^2}{2 a+4 i t}}\right)\left(\exp\left( \frac{(z-h)^2}{2 a+4 i t} \right)+\exp\left( \frac{(z+h)^2}{2 a+4 i t} \right) \right) $$

El hecho de que estos paquetes de ondas no se muevan es un poco tramposo, pero siempre se puede "impulsar" a un marco en movimiento utilizando la respuesta aquí: Invariancia galileana de la ecuación de Schrodinger (o si realmente estás al tanto de la mecánica cuántica puedes aplicar el operador de traslación $e^{-i\hat{x}\cdot \hat{p}}$ )

Voilà, una función de onda apropiada.

Aquí hay un corte XZ de la condición inicial $|\psi|^2$ :

Un corte XZ de $|\psi|^2$ en un momento posterior y compensado Y:

Y una animación de $|\psi|^2$ (subido en imgur)

Utilicé Mathematica para expandir el psi al cuadrado de la ecuación anterior. Puedes ver exactamente dónde se produce la interferencia (el término del coseno)

$$|\psi(x,y,z,t)|^2=\frac{\left(a^2\right)^{3/2}}{\left(a^2+4 t^2\right)^{3/2}} \cdot \left(\exp\left(-\frac{a \left(h^2+2 h z+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)+\exp\left(-\frac{a \left(h^2-2 h z+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)+2 \cos \left(\frac{4 h t z}{a^2+4 t^2}\right) \exp \left(-\frac{a \left(h^2+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)\right)$$

Así que la parte oscilante/importante es $\cos \left(\frac{4 h t z}{a^2+4 t^2}\right)$ . Esto plantea el problema obvio de este enfoque: no proporciona directamente el bonito resultado que se suele desear, relacionando el momento de la partícula con la "longitud de onda" del patrón de interferencia. El patrón de interferencia alcanza su máxima frecuencia a $t=\frac{a}{2}$ por lo que dejaré como ejercicio al lector ver si existe una relación entre el impulso ( $\hat{p}^2$ tal vez?), la longitud de onda de Broglie, y las fórmulas habituales de difracción de picos/huecos( este tipo de cosas )