$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{2x}}{ae^{3x}+b} dx,$ donde $a,b \gt 0$

Question

Evaluar

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{2x}}{ae^{3x}+b} dx,$$ where $a,b \gt 0$

He intentado utilizar $y=e^x$, pero todavía no puedo resolver.

Llego $\displaystyle\int_0^\infty \frac y{ay^3+b} \, dy.$

¿Hay algún método diferente para resolverlo?

Answer 1

$$ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac{e^{2x}}{ae^{3x}+b}\,\mathrm{d}x &=\frac1{3b}\left(\frac ba\right)^{2/3}\int_0^\infty\frac{u^{-1/3}}{u+1}\,\mathrm{d}u\tag{1}\\ &=\frac13\left(\frac1{ba^2}\right)^{1/3}\pi\csc\left(\frac23\pi\right)\tag{2}\\ &=\frac{2\pi}{3\sqrt3}\left(\frac1{ba^2}\right)^{1/3}\tag{3} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: $u=\frac abe^{3x}$
$(2)$: el resultado de esta respuesta
$(3)$: $\csc\left(\frac23\pi\right)=\frac2{\sqrt3}$

Answer 2

Dividiendo tanto el numerador y el denominador por $e^{3x}$, obtenemos $$\frac{e^{2x}}{ae^{3x}+b} dx=\frac{e^{-x}}{a+be^{-3x}} dx$$ Si usas $y=e^{-x}$, luego de llegar $$-\frac{dy}{a+by^3}=-\frac{1}{b}\cdot\frac{dy}{y^3+r^3}$$ where $r=\sqrt[3]{\frac{b}{a}}$

Ahora si sustituye $y=r\tan^\frac{2}{3} \theta$$dy=\frac{2}{3}r\tan^{-\frac{1}{3}} \theta \sec^2 \theta \, d\theta$, el integrando se convertirá en $$-\frac{1}{b}\cdot\frac{\frac{2}{3}r\tan^{-\frac{1}{3}} \theta \sec^2 \theta \, d\theta}{r^3\sec^2 \theta}=-\frac{2}{3br^2}\cdot\tan^{-\frac{1}{3}} \theta \, d\theta$$

Si cambia los límites adecuadamente, entonces creo que usted será capaz de completar la integración. Espero que esto ayude.

Answer 3

WLOG, $a=b=1$. Luego de factorizar el denominador, la descomponemos en fracciones simples

$$\frac y{y^3+1}=A\frac1{y+1}+B\frac{2y-1}{y^2-y+1}+C\frac1{y^2-y+1}=\frac{(A+2B)y^2+(-A+B+C)y+(A-B+C)}{y^3+1}.$$

La identificación,

$$\frac y{y^3+1}=\frac13\frac1{y+1}-\frac16\frac{2y-1}{y^2-y+1}+\frac12\frac1{y^2-y+1}.$$

Los dos primeros términos tienen una evidente antiderivada. El tercero también se convierte en fácil completando el cuadrado

$$\frac1{y^2-y+1}=\frac1{\left(y-\frac12\right)^2+\frac34}=\frac43\frac1{\left(\sqrt{\frac43}(y-\frac12)\right)^2+1}$$ que produce un arco tangente.

Answer 4

$$ ay^3 + b = a\left( y^3 + \frac b \right) $$ $$ y^3 + \frac b a = y^3 +c^3 = (y+c)(y^2 - yc + c^2) \quad\text{donde } c = \sqrt[3]\frac b una. $$ A fin de utilizar fracciones parciales para obtener $$ \frac \bala {y+c} + \frac {((\bullet\, y) + \bullet)} {y^2 - yc + c^2}. $$ Para integrar el segundo plazo, que ha $$ \frac {ey+f}{y^2 - yc + c^2}, $$ y dejando $u=y^2-yc+c^2$$du = (2y-c)\,dy$. Multiplicando ambos lados de la última igualdad por $e/2$, obtenemos $$ \frac e 2 \, du = \left( ey+\frac{ce}{2} \right) \, dy. $$ Así $$ (ey+f)\,dy = \left( \underbrace{\left( ey + \frac{ce}2 \right)\,dy} + \left( f - \frac{ce}2 \right) \, dy \right). $$ La sustitución se encarga de la parte sobre la $\underbrace{\text{underbrace}}.$, Entonces usted tiene $$ \int \frac{dy}{y^2-yc+c^2}. $$ Completar el cuadrado $$ y^2 - yc + c^2 = \left( y^2 - yc + \frac{c^2} 4 \right) + \frac{3c^2} 4 = \left( y - \frac c 2 \right)^2 + \frac{3c^2} 4. $$ Así que cuando usted integrar, se obtiene un arco tangente.