Una interpretación errónea
Creo que has entendido mal el hecho expuesto en la respuesta enlazada. Cuando se afirma que
dada cualquier base de un espacio topológico, siempre se puede encontrar un subconjunto de esa base que sea a su vez una base, y de mínimo tamaño posible.
lo que se quiere decir es lo siguiente
dada cualquier base de un espacio topológico, siempre se puede encontrar un subconjunto de esa base que sea a su vez una base, y de tamaño mínimo posible entre todas las bases .
Nótese la diferencia entre esta interpretación y
dada cualquier base de un espacio topológico, siempre se puede encontrar un subconjunto de esa base que sea a su vez una base, y de tamaño mínimo posible entre todas las bases que son subconjuntos de la dada .
Un ejemplo tonto para ilustrar la diferencia
Para esta interpretación (estoy seguro de que es correcta) del enunciado su prueba dada no funcionará. Observe, en particular, que en ninguna parte esencialmente utilizar el hecho de que las colecciones que ha elegido son bases para un espacio topológico . Y, si es cierto, debería seguir con cualquier otra colección. Obsérvese también que en esa respuesta se afirma que este hecho, junto con la segunda contrastabilidad del espacio, permitiría obtener un contable que es un subconjunto de $\mathcal B$ . A priori no se sabría que la cardinalidad mínima entre todas las bases que son subconjuntos de $\mathcal B$ es $\leq \aleph_0$ .
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Ejemplo. Llama a un subconjunto infinito $A \subseteq \mathbb R$ halatinosa si contiene un número racional o es incontable.
Tenga en cuenta que el tamaño mínimo de un halatinosa subconjunto de $\mathbb R$ es $\aleph_0$ . Claramente cada halatinosa subconjunto de $\mathbb R$ tiene una cardinalidad de al menos $\aleph_0$ y $\mathbb N$ es un halatinosa subconjunto de $\mathbb R$ de esa cardinalidad.
Tenga en cuenta, además, que $A = \mathbb R \setminus \mathbb Q$ es halatinosa Sin embargo, no tiene un número contablemente infinito halatinosa subconjuntos. (La menor cardinalidad de un halatinosa subconjunto de $A$ es $\aleph_1 > \aleph_0$ .)
Por lo tanto, mientras que hay contables halatinosa subconjuntos de $\mathbb R$ También hay halatinosa subconjuntos de $\mathbb R$ sin que se pueda contar halatinosa subconjuntos.
Su prueba, si hubiera funcionado para las bases habría funcionado igualmente para halatinosa subconjuntos de $\mathbb R$ lo cual es imposible. Así que para demostrar la afirmación pretendida vas a tener que hacer uso del hecho de que estás empezando con una base para un espacio topológico, y estás buscando otra base.
Esquema de la prueba
Así que hagamos una afirmación muy precisa. Dado un espacio topológico $X$ El peso de $X$ , denotado como $w(X)$ se define como la menor cardinalidad de una base para $X$ . (A menudo $w(X)$ está restringido a tomar sólo valores infinitos, pero para los propósitos de lo que sigue voy a permitir valores finitos, también). Entonces un enunciado más preciso del hecho dado es
Dada cualquier base $\mathcal B$ de un espacio topológico $X$ siempre se puede encontrar un subconjunto $\mathcal B^* \subseteq \mathcal{B}$ que también es una base para $X$ y que satisface $|\mathcal B^* | = w(X)$ .
Así que dejemos $X$ sea un espacio topológico, y sea $\mathcal{B}$ sea una base cualquiera. Demostramos que algún subconjunto $\mathcal B^* \subseteq \mathcal B$ de cardinalidad $w(X)$ es también una base para $X$ . Para empezar, fija una base $\mathcal D$ para $X$ de cardinalidad $w(X)$ . Hay esencialmente dos casos.
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Caso 1. Supongamos que $w(X) < \aleph_0$ Así que, en particular $\mathcal D$ es finito.
- Dado $x \in X$ , $U_x = \bigcap \{ V \in \mathcal D : x \in V \}$ es el El más pequeño barrio abierto de $x$ .
- Cada $U_x$ está contenida en cada base para $X$ .
- El sólo se pone en $\mathcal D$ son los $U_x$ para $x \in X$ . (Esto utiliza el hecho de que $\mathcal D$ es una base de tamaño mínimo finito).
- Por lo tanto, $\mathcal D \subseteq \mathcal B$ .
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Caso 2. Supongamos que $w(X) \geq \aleph_0$ . (De modo que cada base para $X$ es infinito). Entonces podemos proceder como sigue.
- Demuestre que, dado cualquier $W \subseteq X$ hay un $\mathcal B_W \subseteq \mathcal B$ tal que $| \mathcal B_W | \leq w(X)$ y $\bigcup \mathcal B_W = W$ . (Hay un $\mathcal B^\prime _W \subseteq \mathcal B$ tal que $W = \bigcup \mathcal B^\prime_W$ . Toma $\mathcal D_W = \{ V \in \mathcal D : (\exists U \in \mathcal B^\prime_W )( V \subseteq U ) \}$ . Tenga en cuenta que $| \mathcal D_W | \leq w(X)$ y $\bigcup \mathcal D_W = W$ . Para cada $V \in \mathcal D_W$ fijar $U_V \in \mathcal B^\prime_W$ tal que $V \subseteq U_V$ . Toma $\mathcal B_W = \{ U_V : V \in \mathcal D_W \}$ .)
- Toma $\mathcal B ^* = \bigcup \{ \mathcal B _V : V \in \mathcal D \}$ .
- Dado que cada conjunto en $\mathcal B^*$ está abierto, y cada conjunto de la base $\mathcal D$ es la unión de una subfamilia de $\mathcal B^*$ se deduce que $\mathcal B^*$ es una base para $X$ . (Por lo tanto $w(X) \leq | \mathcal B^* |$ .)
- Aprovechando que $w(X)$ es infinito, $$| \mathcal B ^* | = | \bigcup \{ \mathcal B_V : V \in \mathcal D \} | \leq \sum_{V \in \mathcal D} | \mathcal B_V | \leq \sum_{V \in \mathcal D} w(X) = w(X) \cdot w(X) = w(X).$$
