Significado físico de la transformación de Legendre

Question

Me gustaría saber el significado físico del Transformación de Legendre ¿hay alguna? Lo he utilizado en la termodinámica y en la mecánica clásica y parecía sólo un cambio de coordenadas?

Answer 1

Las transformaciones de Legendre se utilizan habitualmente en termodinámica (para cambiar entre diferentes variables independientes) y en mecánica clásica (para cambiar entre los formalismos de Lagrange y Hamilton). Pero usted se pregunta con razón: ¿qué es exactamente una transformación de Legendre? ¿De dónde procede? ¿Qué hace que funcione?

En la mecánica clásica (1D), por ejemplo: si tenemos un Lagrangiano $L(q,\dot{q}[,t])$ por qué podemos definir una variable

$$p = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}$$

y esperar poder construir una nueva función (la Hamiltoniano ) $$H(q,p[,t]) = p\dot{q}-L(q,\dot{q}[,t])$$ que se comporta bien? ¿Cuál es la relación entre ambas funciones?

Veamos el lagrangiano y el hamiltoniano como ejemplo orientativo. Lo mantendré bastante abstracto/general, pero la notación del lagrangiano/hamiltoniano puede ayudar a hacer las cosas más concretas y claras.

Sin embargo, una cosa que voy a hacer es omitir la dependencia temporal explícita. No es importante para nuestro análisis y la mayoría de las veces no habrá dependencia temporal explícita. Además, denotaré $v\equiv\dot{q}$ poner menos énfasis en la relación con $q$ ya que no es importante para la transformación de Legendre.

Entonces, ¿qué necesitamos para una transformación de Legendre?

Bien, en primer lugar necesitamos dos variables $v$ , $p$ que son funciones de un solo valor entre sí. Otra forma de decirlo es que $p$ debe ser un función monótona de $v$ y viceversa. La figura 1 muestra un ejemplo de dicha función.

Figura 1. Ejemplo de una relación de un solo valor entre $v$ y $p$ .

Para tales variables siempre es posible construir un par de funciones con la propiedad de que la diferenciación de una de las funciones con respecto a una de las variables da lugar a la segunda variable. De forma equivalente, la derivada de la segunda función con respecto a esta segunda variable da como resultado la primera variable.

En nuestro ejemplo de mecánica clásica, las funciones que podemos construir para nuestras dos variables $v$ y $p$ son los lagrangianos $L(q,v)$ y el Hamiltoniano $H(q,p)$ . $^1$ Satisfacen (por definición) las relaciones diferenciales

$$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial v} &= p \\ \frac{\partial H}{\partial p} &= v \end{align}$$

¿Por qué funciona?

De hecho, ¿por qué peut ¿contruimos esas funciones? Volvamos a ver la figura 1. Por la forma en que se ha dispuesto el gráfico, parece una gráfica de $p$ en función de $v$ . Así que si integramos esta función entre $0$ y algún valor $v$ (mostrado en el gráfico), la respuesta que obtenemos es el área naranja bajo la curva. Esta integral es nuestra primera función. De hecho, si volvemos a la notación de nuestro ejemplo clásico (voy a omitir el $q$ dependencia a partir de ahora):

$$L(v) = \int_0^v{p(v')dv'}$$

porque

$$\frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}\int_0^v{p(v')dv'} = p.$$

Ahora bien, si consideramos que la curva de la figura 1 es $v$ en función de $p$ (gire el gráfico si le resulta más claro), podemos hacer un razonamiento similar. Esta vez integramos entre $0$ y $p$ donde $p$ se ha elegido para que se corresponda con nuestro anterior $v$ . $^2$ Esta integral es nuestra segunda función; así que en términos de nuestro ejemplo clásico 1D:

$$H(p) = \int_0^p{v(p')dp'}.$$

Habrás notado que hemos descrito un rectángulo con las integrales (y por tanto las dos funciones $L$ y $H$ ). Este rectángulo tiene una superficie total de $p\cdot v$ . Pero también hemos calculado su superficie en dos partes: la verde y la naranja. Por tanto, la suma de ambas debe ser igual a $pv$ . Esto da lugar a la transformación de Legendre

$$L(v) + H(p) = pv$$

o

$$H(p) = pv - L(v)$$ .

¿Cómo funciona en la práctica una transformación de Legendre?

Aquí hay un plan de 3 pasos:

1. Empieza con tu primera función, por ejemplo $L(v)$ . $\left[\right.$ o $U(S)$ para un ejemplo termodinámico $\left.\right]$

2. Encuentre el variable conjugada por diferenciación:

   $$p = \frac{\partial L}{\partial v} \hspace{2cm} \left[T = \frac{\partial U}{\partial S}\right]$$

3. Construir la segunda función

   $$H(p) = p\cdot v - L(v) \hspace{2cm} \left[\left(-F(T)\right) = T\cdot S - U(S)\right]$$

   e inserte la variable conjugada siempre que pueda, es decir, sustituya $v$ $[S]$ con la expresión $v(p)$ $[S(T)]$ a lo largo de toda la expresión.

A partir de la Figura 1, debería quedar claro que las dos funciones no sólo son generalmente diferentes entre sí, sino que describen las cosas desde una perspectiva diferente (tuvimos que ver la curva de la Figura 1 una vez como una función $p(v)$ y una vez como función $v(p)$ ). Las funciones son complementarias y su estrecha relación se rige por una transformación de Legendre.

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$^1$ También son funciones de $q$ pero eso no es importante. Podrían ser funciones de cualquier número de variables distintas, aunque su lista de variables será obviamente la misma excepto por $v$ y $p$ . De hecho, la transformación de Legendre no cambia ninguna de las otras dependencias. Si esto no está claro ahora, debería estarlo a lo largo del resto de esta explicación.

$^2$ Obsérvese que aquí es donde la relación de un solo valor entre $v$ y $p$ es necesario. Si $v(p)$ fuera una parábola, por ejemplo, entonces habría ambigüedad sobre qué $p$ corresponde a la $v$ que usamos.

Answer 2

La interpretación del análisis convexo de la transformada de Legendre me parece la más esclarecedora.

(esta es una adaptación de un artículo que escribí para un sitio web que ya ha sido eliminado)

Un conjunto convexo está determinado de forma única por sus hiperplanos de apoyo. La transformada de Legendre es una codificación del casco convexo del epígrafe de una función en términos de sus hiperplanos de apoyo. Si la función es convexa y diferenciable, los hiperplanos de apoyo corresponden a la derivada en cada punto, por lo que la transformada de Legendre es una recodificación de la información de una función en términos de su derivada.

A hiperplano de apoyo de una región es el hiperplano orientado más cercano posible a esa región, entre todos los hiperplanos con una normal dada, tal que todos los puntos de esa región residan en el exterior del hiperplano.

Un conjunto convexo cerrado está determinado de forma única por sus hiperplanos de soporte.

¿Por qué? Ningún hiperplano de apoyo puede "cortar" el conjunto que apoya, y para cada punto fuera del conjunto, existe un hiperplano que lo separa del conjunto.

Una función convexa cerrada está determinada de forma única por sus hiperplanos de soporte inferiores.

El Transformación de Legendre , $f^*$ es una codificación de una función $f$ de los hiperplanos de apoyo.

En 1 dimensión ( $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ), la transformada de Legendre es $$f^*(m) := \sup_{x \in \mathbb{R}} ~ (mx - f(x)).$$

• El argumento del supremum es el hueco entre la función, y una recta con pendiente $m$ .

• El supremum se consigue donde la línea de apoyo apenas toca $f$ de la gráfica.

• $f^*$ codifica toda la información sobre $f$ de las líneas de apoyo. Usted da $f^*$ una pendiente, $m$ y $f^*(m)$ le indica la distancia a la que debe desplazarse una línea con pendiente $m$ hacia arriba o hacia abajo, de manera que apenas toque el gráfico de $f$ .

En n dimensiones ( $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ ),

$$f^*(\mathbf{m}) := \sup_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} ~ (\langle \mathbf{m}, \mathbf{x}\rangle - f(\mathbf{x})),$$ donde $\langle \cdot, \cdot \rangle$ es el producto interior.

Si $\mathbf{m} = (m_1, m_2, \dots, m_n)$ es un vector de pendientes, entonces $f^*(\mathbf{m})$ es el desplazamiento hacia arriba/abajo del hiperplano con pendientes direccionales $(m_1, m_2, \dots, m_n)$ de tal manera que el hiperplano apenas toca la gráfica de $f$ .

$f^*$ codifica la información sobre todos los $f$ de los hiperplanos de apoyo. se da $f^*$ un vector de pendiente $\mathbf{m}$ y $f^*(\mathbf{m})$ le indica hasta dónde desplazar el hiperplano con vector de pendiente $\mathbf{m}$ hacia arriba o hacia abajo para que apenas toque el gráfico de $f$ .

Aquí hay otros enlaces que discuten esta perspectiva de análisis convexo de la transformada de Legendre:

http://jmanton.wordpress.com/2010/11/21/introduction-to-the-legendre-transform/ (gran explicación en profundidad)

http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/NAIA07/naia07_h3_slides.pdf

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Por otra parte, esta intuición se extiende también a las dimensiones infinitas. Es decir, $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ , donde $X$ es un espacio de Banach. Allí la transformada de Legendre es $$f^*(\phi) := (\phi(x) - f(x)),$$ donde $\phi$ es una función lineal. La idea de un hiperplano es menos clara, pero se puede pensar en $\text{ker}(\phi) + b$ como una generalización de un hiperplano desplazado en altura $b$ desde el origen.

Answer 3

Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation#Applications

En física teórica, las propiedades matemáticas básicas o definitorias de la transformación de Legendre se utilizan para pasar de una forma de la energía -o "potencial", como se denominan las energías generalizadas en termodinámica- a otra.

Esto es importante para cambiar entre el Lagrangiano en la mecánica abstracta que depende de $x,v$ (posiciones y velocidades) al Hamiltoniano, la verdadera energía que depende de $x,p$ .

En termodinámica, el número de aplicaciones y "tipos de interruptores" es aún mayor. Se puede pasar de la energía a la entalpía o a la energía libre de Helmholtz o a la energía libre de Gibbs mediante una transformación de Legendre con respecto a diversas variables. La transformación va y viene. Como se explica en el ejemplo de Wikipedia, hay otras variables útiles con las que se puede hacer una transformación de Legendre con respecto a ellas, incluyendo la carga y el voltaje.

Puede que consideres la transformación de Legendre como una "mera" redefinición de variables, pero por eso es tan importante en la práctica. En realidad, las distintas formas de describir el sistema que se diferencian mediante una transformación de Legendre son "igualmente fundamentales" o "igualmente naturales", por lo que suele ser útil conocerlas todas y saber cuál es la relación entre ellas. Esta relación viene dada por la transformación de Legendre.

Answer 4

Ya hay algunas buenas respuestas sobre las interpretaciones intuitivas de la transformada de Legendre. Lo que quiero aportar aquí, es una razón/motivación más física de por qué aparecen. Es decir, en lugar de centrarme en su interpretación física, me centraré en los requisitos físicos que definen de forma exclusiva las transformadas de Legendre . Esto explica que inevitablemente acabe inventándolos, aunque nunca haya oído hablar de ellos.

Los principios variacionales son fundamentales para la física. Las transformadas de Legendre surgen de forma natural cuando se requiere que los principios variacionales se trasladen al cambiar las variables De hecho, resultan ser la única solución a este requisito físico. Lo ilustraré en el contexto termodinámico. (Una diferencia conceptual principal con respecto a las otras explicaciones de esta página, es que según este punto de vista, es importante que nuestra función dependa también de otras variables para llegar naturalmente a las transformadas de Legendre).

Un ejemplo importante de principio variacional es el principio de la energía mínima un sistema cerrado con una entropía fija minimizará su energía (nótese que "cerrado" significa que no hay transferencia de masa, pero sí de energía). Esto puede derivarse de la segunda ley de la termodinámica; para una derivación, véase aquí . Para decirlo con más precisión: si denotamos nuestra energía interna $U(S,X)$ donde $S$ es la entropía y $X$ es alguna variable macroscópica que puede termalizarse (es decir, no es fija; por ejemplo, un perfil de densidad, o la posición de una partición deslizante), entonces en el equilibrio, tenemos $$ \boxed{ \left. \frac{\mathrm dU(S,X)}{\mathrm dX} \right|_{S} = 0 } \quad \textrm{(for the equilibrium value $ X= X_\textrm{eq} $).} $$ (Suprimiré otras variables termodinámicas que podrían mantenerse fijas, como el volumen). Aquí sigo la convención de que la barra indica lo que se mantiene fijo al tomar la derivada.

A cada variable termodinámica extensiva, como la entropía, podemos asociar una variable intensiva, en este caso la temperatura: $$ T(S,X) \equiv \left. \frac{\mathrm dU(S,X)}{\mathrm dS} \right|_{X}. $$ Se dice que estas variables extensivas e intensivas asociadas son conjugar .

Dependiendo del contexto físico, puede ser más natural mantener el parámetro intensivo $T$ fija, en lugar de la entropía $S$ (por ejemplo, para un sistema conectado a un baño térmico). En principio (si $U(S,X)$ es convexo en función de $S$ ), podemos invertir la relación anterior para obtener $S(T,X)$ . Así, podemos expresar la energía interna en función de $T$ y $X$ es decir, $U(T,X) \equiv U(S(T,X),X)$ . Sin embargo, hemos perdido nuestro principio variacional El equilibrio ya no corresponde a una derivada nula. En efecto, por la regla de la cadena $$ \left. \frac{\mathrm dU(T,X)}{\mathrm dX} \right|_{T} = \underbrace{ \left. \frac{\mathrm dU(S,X)}{\mathrm dS} \right|_{X}}_{= \; T} \left. \frac{\mathrm dS(T,X)}{\mathrm dX} \right|_{T} + \boxed{ \left. \frac{\mathrm dU(S,X)}{\mathrm dX} \right|_{S} }. $$ Obsérvese que el término en el recuadro es el que es cero en el equilibrio. Por lo tanto, al expresar la energía interna en función de $T$ en lugar de $S$ nuestra condición de equilibrio se ha convertido en $$ \boxed{ \left. \frac{\mathrm dU(T,X)}{\mathrm dX} \right|_{T} = T \left. \frac{\mathrm dS(T,X)}{\mathrm dX} \right|_{T} } \quad \textrm{(for the equilibrium value $ X= X_\textrm{eq} $).} $$ Esto es claramente molesto: ¡sería mucho más agradable tener una única función que se extreme en el equilibrio, en lugar de tener que igualar los gradientes de diferentes funciones! Sin embargo, como las derivadas son con respecto a las funciones fijas $T$ podemos moverlo dentro de la derivada. Por lo tanto, moviendo todo hacia un lado, tenemos $$ \boxed{ \left. \frac{\mathrm d \left( U(T,X) - T \;S(T,X) \right)}{\mathrm dX} \right|_{T} = 0 } \quad \textrm{(for the equilibrium value $ X= X_\textrm{eq} $).} $$

Definición de $F(T,X) \equiv U(T,X) - T \; S(T,X)$ (que quizás reconozcas como la transformada de Legendre (negativa)), Así, vemos que ésta es la cantidad adecuada para extremarla de forma variable cuando se mantiene fija la temperatura ¡! De forma más general, lo anterior demuestra que $$ \boxed{ \left. \frac{\mathrm dF(T,X)}{\mathrm dX} \right|_{T} = \left. \frac{\mathrm dU(S,X)}{\mathrm dX} \right|_{S} }, $$ para cualquier valor de $X$ . Si aplicamos esto como nuestro requisito físico, entonces lo anterior puede leerse como una prueba de que esto da de forma única la $F(T,X)$ (llamado Energía libre de Helmholtz ) hasta una función arbitraria $f(T)$ (que es independiente de $X$ ). Para acabar con esta arbitrariedad restante, podemos además observar que si optamos por la mencionada elección mínima de $F(T,X)$ entonces tenemos la agradable propiedad de que (ejercicio) $$ S(T,X) \equiv -\left. \frac{\mathrm dF(T,X)}{\mathrm dT} \right|_{X}. $$ En otras palabras: así como la derivada de la energía interna con respecto a la entropía nos da la temperatura, la derivada de la energía libre con respecto a la temperatura nos da la entropía (nótese que exigir esta propiedad obliga a que nuestra función desconocida anterior sea constante: $f(T) = \textrm{cst}$ ). El significado de esto es que hace que todo el proceso sea una involución. Es decir, si utilizamos $F(T,X)$ como nuestro punto de partida original y lo introducimos en la parte superior, terminaremos con $U(S,X)$ como resultado (posiblemente hasta una constante irrelevante). En particular, esto significa que $F(T,X)$ y $U(S,X)$ ¡llevan la misma información!

En resumen, cuando la derivada respecto a la variable original se toma como la nueva variable, la transformada de Legendre surge naturalmente como la función (prácticamente) única que satisface las restricciones de que (1) las derivadas respecto a otras variables coinciden y que (2) la derivada de la nueva función respecto a la nueva variable devuelve la variable original.